专题04 等比数列的前n项和（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版)

专题04 等比数列的前n项和 【重难点知识点网络】： 1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列）， 2.等比数列的通项公式： 或。 3．等比数列的前和： ①当时，； ②当时，。 4、等比中项： ⑴若成等比数列，那么A叫做与的等比中项， ⑵当时，则有。 【重难点题型突破】： (一) 累乘法与累加法 例1．数列满足，且（），则数列前10项的和为 ． 【答案】 【解析】由题意得： 所以． 【变式训练1】数列满足：，且，求． 【答案】． 【解析】，，，， 累加可得：，． 【变式训练2】．数列中，若，，则______． 【答案】 【解析】∵，，则，∴．故答案为． (二) 已知数列的前n项和，求通项公式 例2．已知数列的前项和，且满足，则（ ） . . . . 【答案】B 【解析】， 时， ，解得 ． 时， ，解得 时， ，可得： ∴数列是等比数列，首项为3，公比为2． ，选B 【变式训练1】．已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为（ ） A．4 B．2 C． D． 【答案】C 【解析】根据题意，当时，，故当时，， ∵数列是等比数列，则，故；解得．故选C． 【变式训练2】．（2019·吉林省实验高一期末（文））已知数列的前项和为，，，则__________． 【答案】 【解析】当时，则有，； 当时，由得出， 上述两式相减得，，得且， 所以，数列是以为首项，以为公比的等比数列，则，， 那么，因此，，故答案为：. 【变式训练3】．（2019·山东高考模拟（文））已知等比数列中，，前三项之和，则公比的值为（ ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【解析】等比数列中，，前三项之和， 若，，，符合题意； 若，则， 解得，即公比的值为1或，故选C. (三) 等比数列的前n项和的性质 例3．已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】C 【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则， 解得，，故选C． 【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键. 【变式训练1】．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________． 【答案】 【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又， 所以所以． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误． 【变式训练2】．等差数列的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则前6项的和为（ ） A． B． C．3 D．8 【答案】A 【解析】设等差数列的公差为，由a2，a3，a6成等比数列可得，即，整理可得，又公差不为，则，故前6项的和为.故选A. 【变式训练3】．（浙江省绍兴市第一中学2019届高三上期末）设为数列的前项和，，，若，则＝( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由可得：当时， 两式作差得：，即，又，满足 是以为首项，为公比的等比数列，又 本题正确选项： 【变式训练4】．等比数列的前n项和为．已知，，则_________． 【答案】511 【解析】等比数列的前n项和为．所以 还是等比数列。 所以,解得：511 【点睛】考查等比数列，等比数列的前n项和。 【变式训练5】.（2019·浙江高三期末）数列的前n项和为，且满足， Ⅰ求通项公式； Ⅱ记，求证：． 【答案】（Ⅰ）；Ⅱ见解析 【解析】（Ⅰ），当时，， 得，又， ，数列是首项为1，公比为2的等比数列， ； 证明：Ⅱ，，时，， ， 同理：，故：． (四) 错位相减法 例4．已知等差数列的公差是1，且，，成等比数列． （I）求数列的通项公式； （II）求数列的前项和． 【答案】（I）；（II）. 【解析】（I）因为是公差为1的等差数列，且，，成等比数列， 所以，即，解得. 所以. （II）， ， 两式相减得， 所以.所以. 【名师点睛】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、错位相减法，考查了推理能力与计算能力，属于常考题型． 【变式训练1】．（浙江省衢州市五校联盟2019届高三上学期联考）已知等比数列满足条件，，，数列满足，（，） （1）求数列，的通项公式； （2）若数列满足，，求的前项和. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）设的通项公式为，， 由已知，，得， 由已知，即，解得，， 所以 的通项公式为. 因为，（，）， 可得,， 累加可得. （2）当时，，， 当时，①， ②， 由①-②得到，，， 综上，，. ③， ④， 由③-④得到， 所以. (五) 证明或判断等比数