专题03 等比数列（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版)

专题03 等比数列 【重难点知识点网络】： 1.等比数列的定义--------（证明或判断等比数列）， 2.等比数列的通项公式：或。 3．等比数列的前和： ①当时，； ②当时，。 4、等比中项： ⑴若成等比数列，那么A叫做与的等比中项， ⑵当时，则有。 【重难点题型突破】： 一、等比数列的概念及其定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：＝q 例1．已知{an}是等比数列，,则公比q=（ ） A． B．-2 C．2 D． 【答案】D 【解析】由，解得 【变式训练1】 已知等比数列的各项均为正，且，，成等差数列，则数列的公比是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】根据，，成等差数列得到=，再根据数列是等比数列得到，因为等比数列的各项均为正，故得到解得或-2（舍去），故得到公比为. 【变式训练2】 已知等比数列的各项均为正，且，，成等差数列，则数列的公比是（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】根据，，成等差数列得到=，再根据数列是等比数列得到，因为等比数列的各项均为正，故得到解得或-2（舍去），故得到公比为. 故答案为:C. 【变式训练3】 （2017·湖南高二月考（文））在等比数列中，，且为和的等差中项，则为　　 A．9 B．27 C．54 D．81 【答案】B 【解析】根据题意，设等比数列的公比为q， 若为和的等差中项，则有，变形可得，即， 解得或3；又，即，则，， 则，则有；故选：B． (二) 等比数列的通项公式 等比数列通项公式为：。推广形式：an=amqn－m. 注意：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列； 例2．设是等比数列，且，，则的通项公式为_______． 【答案】，. 【解析】设等比数列的公比为，因为，， 所以，解得，所以， 因此，，.故答案为，. 【名师点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，熟记等比数列的通项公式即可，属于常考题型. 【变式训练1】 （2017全国卷3理）设等比数列满足， ，则 ___________． 【答案】 【解析】因为为等比数列，设公比为．，即， 显然，，得，即，代入式可得， 所以． 【变式训练2】 （2018·新疆焉耆县第二中学高二期末）在等比数列中，已知，，那么( ) A.6 B.8 C.16 D.32 【答案】C 【解析】由题意，等比数列中， ，，则公比， 所以，故选C. 【变式训练3】．数列是等差数列，，，则（ ） A．16 B．-16 C．32 D． 【答案】D 【解析】因为，所以，又因为，所以， 可得，故选D. (三) 等比中项 若a、b、c成等比数列，则b为a、c的等比中项，且，即b=±. 例3．已知在各项为正数的等比数列中， 与的等比中项为4，则当取最小值时首项等于（ ） A. 32 B. 16 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】设各项为正数的等比数列的公比为 ∵与的等比中项为4[来源:学_科_网Z_X_X_K]∴，∴ ∴ 当且仅当，即时取等号，此时，故选A 【变式训练1】 设正项等比数列, ,且的等差中项为. （1）求数列的通项公式； （2）若,数列的前项和为,数列满足, 为数列的前项和,若恒成立,求的取值范围. 【解析】（1）设等比数列的公比为,由题意,得 解得,所以 （2）由（1）得, ∴,∴ 若恒成立,则恒成立,则,所以. (四) 等比数列的前n项和 等比数列前n项和公式Sn= 例4．若，4，为等差数列的连续三项，则（ ） A．1023 B．1024 C．2047 D．2048 【答案】C 【解析】因为，4，为等差数列的连续三项，所以， ，故本题选C. 【变式训练1】（2019·广东高考模拟（理））记为等差数列的前项和，公差，，，成等比数列，则（ ） A．-20 B．-18 C．-10 D．-8 【答案】D 【解析】等差数列的公差，，，成等比数列， 可得，即为，解得， 则.故选：D． 【变式训练2】（2019·湖北孝感高中高二月考）已知数列的前项和为，已知，，. （1）设，求证：数列是等比数列，并写出数列的通项公式； （2）若对任意都成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（2） 【解析】（1）由得，即， 所以，即.则是首项为，公比为2的等比数列， . （2）解：由(1)知 则 由，得，代入后解得恒成立． 因为函数在上单调递增，所以，解得， 而当时，，成立，由，故. (五) 综合性质 例5．在各项均为正数的等比数列中，若，则的值为（ ） A.2018 B.-2018 C.1009 D.-1009 【