专题02 等差数列的前n项和（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版)

专题02 等差数列的前n项和 【重难点知识点网络】： 1、等差数列基本运算的解题思路： （1）设基本量a1和公差d． （2）列、解方程组：把条件转化为关于a1和d的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 2、求解等差数列通项公式的方法主要有两种： （1）定义法. （2）前项和法，即根据前项和与的关系求解. 3、等差数列前n项和公式的应用方法： 根据不同的已知条件选用不同的求和公式，若已知首项和公差，则使用； 若已知通项公式，则使用，同时注意与性质“”的结合使用. 4、等差数列的判定与证明的方法： 定义法：或是等差数列； 定义变形法：验证是否满足； 等差中项法：为等差数列； 通项公式法：通项公式形如为常数为等差数列； 前n项和公式法：为常数为等差数列． 5、等差数列的性质是每年高考的热点之一，利用等差数列的性质进行求解可使题目减少运算量，题型以选择题或填空题为主，难度不大，属中低档题.应用等差数列性质的注意点： （1）熟练掌握等差数列性质的实质 等差数列的性质是等差数列的定义、通项公式以及前n项和公式等基础知识的推广与变形，熟练掌握和灵活应用这些性质可以有效、方便、快捷地解决许多等差数列问题. （2）应用等差数列的性质解答问题的关键 寻找项数之间的关系，但要注意性质运用的条件，如若，则 ，需要当序号之和相等、项数相同时才成立，再比如只有当等差数列{an}的前n项和Sn中的n为奇数时，才有Sn=na中成立. 6、等差数列的前n项和的最值问题 （1）二次函数法： ，由二次函数的最大值、最小值的知识及知，当n取最接近的正整数时，取得最大（小）值．但应注意，最接近的正整数有1个或2个．注意：自变量n为正整数这一隐含条件. （2）通项公式法： 求使()成立时最大的n值即可． 一般地，等差数列中，若，且，则①若为偶数，则当时，最大； ②若为奇数，则当或时，最大． （3）不等式法：由，解不等式组确定n的范围，进而确定n的值和的最大值． 【重难点题型突破】： 一、累加法求数列的前n项和 例1．【四川省峨眉山市2019届高三高考适应性考试数学试题】在等差数列中，，是方程 的两根，则数列的前11项和等于（ ） A．66 B．132 C．66 D． 32 【答案】D 【解析】因为，是方程的两根，所以， 又，所以，，故选D. 【名师点睛】本题主要考查了等差数列的性质，等差中项，数列的求和公式，属于中档题. 【变式训练1】．（2013新课标Ⅰ）设等差数列的前n项和为，＝－2，＝0，＝3， 则＝（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】有题意知==0，∴==（）=2， = =3，∴公差==1，∴3==，∴=5，故选C. 例2．【广东省深圳市高级中学2019届高三适应性考试（6月)数学试题】在数列中，，则的值为______． 【答案】1 【解析】因为 所以， , , 各式相加，可得 ， ， 所以，，故答案为1. 【名师点睛】本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于中档题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列；（3）将递推关系变形，利用累加法、累乘法以及构造新数列法求解. 【变式训练1】．在数列中，若，，则的值（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意，数列中，若，， 则， ∴， ∴，故选A． 二、已知数列的前n项和求其通项公式 例3．数列的前项和为，若，则的值为（ ） A．2 B．3 C．2017 D．3033 【答案】A 【解析】，故选A． 例4．已知数列的前项和为，且，则___________． 【答案】 【解析】数列的前项和为，且， ，两式想减得到． 【变式训练1】在数列中，，，则的通项公式为_________． 【答案】． 【解析】∵当时，， ， 整理可得：，， 为公差为2的等差数列，， ，． 【变式训练2】已知各项均为正数的数列的前项和为，且． （1）求； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）由题意得，两式作差得， 又数列各项均为正数，∴，即， 当时，有，得，则， 故数列为首项为2公差为2的等差数列，∴． （2）， ∴． 三、等差数列的综合性质 例5.（1）（2018福建漳州三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设等差数列的公差为，则，， 解得，，所以.故选B. （2）【2019年高考全国I卷理数】记为等差数列的前n项和．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案