专题01 等差数列（重难点突破）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版)

专题01 等差数列 【重难点知识点网络】： 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 ①等差数列定义：定义法或。 ②分类：若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。 2、等差数列的判断方法：定义法或 3、等差数列的通项：或。 ①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差； 4、等差数列的前和：，。 ①前和是关于的二次函数且常数项为0. 5、等差中项：若成等差数列，则A叫做与的等差中项，且。 ①当时,则有，特别地，当时，则有. 6、若是等差数列 ， ，…也成等差数列. 【重难点题型突破】： 一、等差数列的概念及其定义 一般地，如果一个数列从______________，相邻每一项与它的前一项的差等于同一个______________，那么这个数列就叫做______________，这个常数叫做等比数列的公差；公比通常用字母________表示， 即：____________________________或____________________________。 特别注意：证明或判断等差数列____________________________。 例1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺， 重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾 每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ） A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤 【答案】D 【解析】因为每一尺的重量构成等差数列，，，， 数列的前5项和为．即金锤共重15斤，故选D． 【名师点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.求解时，直接利用等差数列的求和公式求解即可. 【变式训练1】．等差数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可知等差数列的公差为，所以，选C. 【变式训练2】．在等差数列中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等差数列的性质得，因为，，所以，选B． 【变式训练3】．在等差数列中,已知,则_____． 【答案】20 【解析】 依题意，所以． 或： 【变式训练4】．设数列都是等差数列，若，，则____． 【答案】35 【解析】（解法一）因为数列都是等差数列，所以数列也是等差数列．故由等差中项的 性质，得，即，解得． （解法二）设数列的公差分别为, 因为 所以.所以. 二、等差数列的通项公式 等差数列的通项公式：____________________________或____________________________。 ①当时，等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差； ②若公差，则为递增等差数列；若公差，则为递减等差数列；若公差，则为常数列。 例2．【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考数学试题】在等差数列中， ，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】在等差数列{an}中，由得5a7＝100，即，又由，得4d=12，即d=3，所以2.故选B. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．由已知结合等差数列的性质求得a7的值，列关于的方程组求解即可. 【变式训练1】．已知递增的等差数列满足，，则=____． 【答案】 【解析】． 【变式训练2】．求下列数列的通项公式 （1）.已知Sn为等差数列的前n项和，，，求的通项公式； 【解析】（1）设的公差为d．由得．由a3=4得． 于是．因此的通项公式为． （2）.已知等差数列中，=1，，求数列的通项公式； 【解析】设等差数列的公差为，则 由解得=－2．从而， （3） .已知等差数列满足，．求的通项公式； 【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为．因为，所以． 又因为，所以，故．所以． （4）.等差数列中，，求数列的通项公式； 【解析】设等差数列的公差为．由已知得，解得． 所以． （5）.设是等差数列，且．求的通项公式； 【解析】设等差数列的公差为，∵，∴， 又，∴．∴． 三、 等差中项 若成等差数列，则A叫做与的_____________，且__________________。 ①当时,则有，特别地，当时，则有. 例3．【安徽省1号卷·A10联盟2019届高考最后一卷数学理科试题】等差数列的前项和为，若 ，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由等差数列性质可知：，解得：，，