专题04 等比数列的前n项和（分层训练）-【教育机构专用】2020-2021学年高二数学寒假辅导讲义（新教材人教A版)

专题04 等比数列的前n项和 A组 基础巩固 1.已知数列满足，，则的前10项的和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】设由题设可知数列是公比为,首项是的等比数列.故其前项和为,应选C. 2．已知数列是公比为的等比数列，且，，成等差数列，则公比的值为（ ） A． B． C．1或 D．或 【答案】C 【解析】由题意知：，∴，即， ∴或．故选C． 3.已知数列为等比数列，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】与条件联系，可将所求表达式向，靠拢， 从而， 即所求表达式的值为．故选C． 4.设是等差数列，为等比数列，其公比，且，若，， 则有（ ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】抓住，和，的序数和与，的关系，从而以此为入手点． 由等差数列性质出发，，， 因为，而为等比数列，联想到与有关， 所以利用均值不等式可得：； 5．（浙江省金丽衢十二校2019届高三第一次联考）等比数列的前项和为，己知，，则（ ） A．7 B．-9 C．7或-9 D． 【答案】C 【解析】等比数列｛an｝的前n项和为Sn，己知S2＝3，S4＝15, 代入数值得到q=-2或2， 当公比为2时， 解得，S3＝7； 当公比为-2时，解得，S3＝-9. 故答案为：C. 6．（2018·浙江高三专题练习）已知等比数列前项和满足，数列是递增数列，且，则 ________， 的取值范围为________. 【答案】 【解析】因为任意一个公比不为的等比数列前项和，而等比数列的前项和为，于是，又因为数列是递增数列， 恒成立， 恒成立， ， 的取值范围为，故答案为(1) ，(2) . 7．已知函数，则________； 【答案】2018 【解析】∵ ， 设， ① 则， ② 得， ∴．故答案为2018． 8.（2019·全国高考真题（文））记Sn为等比数列{an}的前n项和.若，则S4=___________． 【答案】. 【解析】设等比数列的公比为，由已知 ，即解得， 所以． 9．设数列满足，，___________． 【答案】 【解析】∵， ， ∴，，累加可得， ∵，， ∴．故答案为． 10.（2018·浙江高考模拟）设各项均为正数的等比数列中,若,则公比=___________，= . 【答案】3,162 【解析】由题意可得：，代入得 等比数列各项均为正数 ，解得，故 11.（浙江高考真题）设公比为q(q＞0)的等比数列{a n}的前n项和为{S n}．若，，则q＝______________． 【答案】 【解析】将，两个式子全部转化成用，q表示的式子． 即，两式作差得：，即：，解之得：(舍去) 12．（2019·北京高三期末（文））已知数列为等比数列，为其前项的和，若，，则_______；________. 【答案】2 126 【解析】由题意，因为，解得， 又由，所以，解得，所以，解得， 所以，故答案为2,126. B组 能力提升 13．设是等差数列，是等比数列．已知． （Ⅰ）求和的通项公式； （Ⅱ）设数列满足其中． （i）求数列的通项公式； （ii）求． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii） 【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故． 所以，的通项公式为的通项公式为． （Ⅱ）（i）． 所以，数列的通项公式为． （ii） ． 【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力． 14．（2019·乌鲁木齐市第四中学高一期中）已知递增等比数列，，，另一数列其前项和. （1）求、通项公式； （2）设其前项和为，求. 【答案】（1），；（2）. 【解析】（1）设等比数列的公比为，由题意可知， 由等比数列的性质可得，所以，解得， ，得，. 当时，； 当且时，. 也适合上式，所以，； （2）， ， 则， 上式下式，得 ， 因此，. 15．（2019·上海市奉贤中学高一期末）已知数列的前项和，满足. （1）若，求数列的通项公式； （2）在满足（1）的条件下，求数列的前项和的表达式； 【答案】（1）；（2）. 【解析】（1）因为，所以， 当时，，所以； 当时， ， 即，，因为，所以， ，即，当时，也符合公式. 综上，数列的通项公式为. （2）因为，所以 （ ） 由得， 两式作差得， ， 即 ，故. 16.【2019届江西鹰潭一中高三理上学期月考】 设数列的前项和为，已知，（）． （1）证明：数列是等比数列； （2）求数列的前项和． 【分析】（1