第17讲 导数的应用-利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题-2021年新高考数学艺术生百日突破专题讲义

第17讲 导数的应用——利用导数研究不等式恒成立(能成立)问题 思维导图 知识梳理 一般地，若a>f(x)对x∈D恒成立，则只需a>f(x)max；若a<f(x)对x∈D恒成立，则只需a<f(x)min.若存在x0∈D，使a>f(x0)成立，则只需a>f(x)min；若存在x0∈D，使a<f(x0)成立，则只需a<f(x0)max.由此构造不等式，求解参数的取值范围． 题型归纳 题型1 分离参数或构造函数解决恒成立问题 【例1-1】（2020·河南质检）已知函数f(x)＝xln x，若对于所有x≥1都有f(x)≥ax－1，求实数a的取值范围． 【跟踪训练1-1】(2021·广东汕头二模)已知函数f(x)＝aln x－x＋1(其中a∈R)． (1)讨论函数f(x)的极值； (2)对任意x>0，f(x)≤(a2－1)成立，求实数a的取值范围． 【名师指导】 分离参数法解含参不等式恒成立问题的思路 用分离参数法解含参不等式恒成立问题是指在能够判断出参数的系数的正负的情况下，可以根据不等式的性质将参数分离出来，得到一个一端是参数，另一端是变量表达式的不等式，只要研究变量表达式的最值就可以解决问题． 题型2 分离参数或构造函数解决不等式能成立问题 【例2-1】（2020·合肥质检）已知函数f(x)＝x－aln x，g(x)＝－(a∈R)．若在[1，e]上存在一点x0，使得f(x0)<g(x0)成立，求a的取值范围． 【跟踪训练2-1】(2020届高三·河北“五个一名校联盟”模拟)已知a为实数，函数f(x)＝aln x＋x2－4x. (1)若x＝3是函数f(x)的一个极值点，求实数a的值； (2)设g(x)＝(a－2)x，若存在x0∈，使得f(x0)≤g(x0)成立，求实数a的取值范围． 【名师指导】 题型3 最值定位法解决双参不等式恒成立问题 【例3-1】（2020·长春质检）已知函数f(x)＝ln x－mx，g(x)＝x－(a>0)． (1)求函数f(x)的单调区间； (2)若m＝，对∀x1，x2∈[2,2e2]都有g(x1)≥f(x2)成立，求实数a的取值范围． 【跟踪训练3-1】(2021·湖南百所重点名校大联考)已知函数f(x)＝－aln x＋x＋. (1)讨论函数f(x)的单调性； (2)设g(x)＝ex＋mx2－2e2－3，当a＝e2＋1时，对任意x1∈[1，＋∞)，存在x2∈[1，＋∞)，使g(x2)≤f(x1)，求实数m的取值范围． 【名师指导】 1．最值定位法解双参不等式恒成立问题的思路 (1)通过不等式两端的最值进行定位，转化为不等式两端函数的最值之间的不等式，列出参数所满足的不等式，从而求解参数的取值范围． (2)有关两个函数在各自指定范围内的不等式恒成立问题，这里两个函数在指定范围内的自变量是没有关联的，这类不等式的恒成立问题就应该通过最值进行定位，对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，不等式f(x1)≥g(x2)恒成立，等价于f(x)min(x∈[a，b])≥g(x)max(x∈[m，n])，列出参数所满足的不等式，便可求出参数的取值范围． 2．常见的双变量不等式恒成立问题的类型 (1)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)max. (2)对于任意的x1∈[a，b]，总存在x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)min. (3)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)min≤g(x2)min. (4)若存在x1∈[a，b]，对任意的x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)max≥g(x2)max. (5)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≤g(x2)⇔f(x1)max≤g(x2)min. (6)对于任意的x1∈[a，b]，x2∈[m，n]，使得f(x1)≥g(x2)⇔f(x1)min≥g(x2)max. 配套练习 1．（2021·柳州市第二中学高二期末（文））已知函数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时恒成立，求实数的取值范围； 2．（2021·北京高三期末）已知函数. （Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程； （Ⅱ）若，讨论函数的单调性； （Ⅲ）当时，恒成立，求的取值范围. 3．（2021·贵州贵阳市·高二期末（文））已知函数. （1）若时求函数的极值； （2）若在上恒成立，求实数的取值范围. 4．（2020·河南高三月考（文））已知函数在点处的切线方程为. （1）求实数的值； （2）若存在，满足，求实数的取值范围. 5．（2021·山东高三专题练习）已知函数. （1）求函