3.2.2 双曲线的简单几何性质-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版选修第一册）

3.2.2双曲线的简单几何性质 导学案 【学习目标】 1.了解双曲线的简单几何性质(范围、对称性、顶点、实轴长和虚轴长等). 2.理解离心率的定义、取值范围和渐近线方程. 3.掌握标准方程中 a，b，c，e 间的关系. 4.能用双曲线的简单几何性质解决一些简单问题． 【自主学习】 知识点1双曲线的范围、对称性 (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈ ，y∈R. (2)双曲线－＝1(a>0，b>0)中要求x∈R，y∈ (3)双曲线的对称轴为 ，对称中心为 ． 知识点2双曲线的顶点 (1)双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为 ， ； (2)双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点坐标为 ， ． 知识点3 渐近线与离心率 (1)渐近线：直线y＝±x叫做双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线． (2)离心率：双曲线的焦距与实轴长的比叫做双曲线的离心率，用e表示(e>1)． (3)双曲线的几何性质见下表： 标准方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 图形 性质 范围 x≥a或x≤－a y≤－a或y≥a 对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A1(－a,0)，A2(a,0) 顶点坐标：A1(0，－a)，A2(0，a) 渐近线 y＝±x y＝±x 离心率 e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝ a，b，c间的关系 c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0) 【合作探究】 探究一 由双曲线方程研究其几何性质 例1求双曲线4x2－y2＝4的顶点坐标、焦点坐标、半实轴长、半虚轴长、离心率和渐近线方程，并作出草图． 归纳总结： 练习1求双曲线9y2－16x2＝144的半实轴长和半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程． 探究二 由双曲线的几何性质确定标准方程 例2求下列双曲线的标准方程． (1)与椭圆＋＝1有公共焦点，且过点(－2，)； (2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)； (3)过点(3,9)，离心率e＝. 归纳总结： 练习2已知圆M：x2＋(y－5)2＝9，双曲线G与椭圆C：＋＝1有相同的焦点，它的两条渐近线恰好与圆M相切，求双曲线G的方程． 探究三 直线与双曲线的位置关系 例3已知直线y＝kx－1与双曲线x2－y2＝4. (1)若直线与双曲线没有公共点，求k的取值范围； (2)若直线与双曲线只有一个公共点，求k的取值范围． 归纳总结： 练习3已知双曲线方程为3x2－y2＝3. (1)求以定点A(2,1)为中点的弦所在的直线方程； (2)以定点B(1,1)为中点的弦存在吗？若存在，求出其所在的直线方程；若不存在，请说明理由． 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是(　　) A．2 B．2 C．4 D．4 2．设双曲线＋＝1的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为(　　) A．－4 B．－3 C．2 D．1 3．已知双曲线－＝1(a＞0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于(　　) A. B. C. D. 4．等轴双曲线的一个焦点是F1(－6,0)，则其标准方程为(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 5．下列双曲线中，渐近线方程为y＝±2x的是(　　) A．x2－＝1 B.－y2＝1 C．x2－＝1 D.－y2＝1 6．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为(　　) A. B. C. D. 7．过双曲线x2―y2＝4的右焦点且平行于虚轴的弦长是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 8．若直线x＝a与双曲线－y2＝1有两个交点，则a的值可以是(　　) A．4 B．2 C．1 D．－2 9.若直线与双曲线只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 10．如图，双曲线－＝1(a>0，b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1作倾斜角为30°的直线l，l与双曲线的右支交于点P，若线段PF1的中点M落在y轴上，则双曲线的渐近线方程为(　　) A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x 二、填空题 11．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________． 12．若双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，则双曲线的焦点坐标是________． 13