3.1.1 椭圆及其标准方程-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版选修第一册）

3.1.1椭圆及其标准方程 导学案 【学习目标】 1.了解椭圆的实际背景，经历从具体情境中抽象出椭圆的过程、椭圆标准方程的推导与化简过程. 2.掌握椭圆的定义、标准方程及几何图形． 3.熟练求解与椭圆标准方程以及与椭圆有关的轨迹问题． 【自主学习】 知识点1椭圆的定义 (1)我们把平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． (2)椭圆的定义用集合语言叙述为： P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2|}． (3)2a与|F1F2|的大小关系所确定的点的轨迹如下表： 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a＝|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在，因此轨迹不存在 知识点2椭圆的标准方程 (1)标准方程的两种形式 形式一：＋＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程，其中b2＝a2－c2. 形式二：＋＝1(a>b>0)，表示中心在原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程，其中b2＝a2－c2. (2)椭圆的标准方程与其在坐标系中的位置的对应关系 椭圆在坐标系中的位置 标准方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦点坐标 F1(－c,0)，F2(c,0) F1(0，－c)，F2(0，c) a，b，c的关系 b2＝a2－c2 【合作探究】 例1椭圆定义的应用 （1） 点P(－3,0)是圆C：x2＋y2－6x－55＝0内一定点，动圆M与已知圆相内切且过P点，判断圆心M的轨迹． 归纳总结： 练习1 (1)已知A(－5,0)，B(5,0)．动点C满足|AC|＋|BC|＝10，则点C的轨迹是(　　) A．椭圆 B．直线 C．线段 D．点 (2)已知定点A(0，－1)，点B在圆F：x2＋(y－1)2＝16上运动，F为圆心，线段AB的垂直平分线交BF于P.则动点P的轨迹E为____________． 例2求椭圆的标准方程 （1）两个焦点的坐标分别是(－4,0)，(4,0)，椭圆上任意一点P到两焦点的距离之和等于10； （2）求中心在原点，焦点在坐标轴上，且经过两点P(，)，Q(0，－)的椭圆的标准方程． （3）已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P到两焦点的距离分别为和，过点P作长轴的垂线，垂足恰好为椭圆的一个焦点，求此椭圆的方程． 归纳总结： 练习2 (1)两个焦点的坐标分别是(0，－2)，(0,2)，并且椭圆经过点(－，)； (2)焦点在y轴上，且经过两个点(0,2)和(1,0)． 例3 椭圆中的焦点三角形问题 （1）已知点P是椭圆＋＝1上的一点，F1，F2分别是椭圆的两个焦点，且∠F1PF2＝30°，求△F1PF2的面积． 归纳总结： 练习3已知椭圆的方程为＋＝1，椭圆上有一点P满足∠PF1F2＝90°(如图)．求△PF1F2的面积． 例4相关点法在求解椭圆方程中的应用 （1）如图，在圆x2＋y2＝4上任取一点P，过点P作x轴的垂线段PD，D为垂足．当点P在圆上运动时，求线段PD的中点M的轨迹． 归纳总结： 练习4（1）如图，设P是圆x2＋y2＝25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且|MD|＝|PD|.当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程，并判断此曲线的类型． 课后作业 A组 基础题 1.．到两定点F1(－2,0)和F2(2,0)的距离之和为4的点M的轨迹是(　　) A．椭圆 B．线段 C．圆 D．以上都不对 2．已知椭圆＋＝1上一点P到一个焦点的距离为2，则P到另一个焦点的距离为(　　) A．1 B．4 C．3 D．2－2 3．已知椭圆5x2＋ky2＝5的一个焦点坐标是(0,2)，那么k的值为(　　) A．－1 B．1 C. D．－ 4．已知椭圆＋＝1的一个焦点为(2,0)，则椭圆的方程是(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C．x2＋＝1 D.＋＝1 5．方程＋y2＝1表示焦点在x轴上的椭圆，则m的取值范围为(　　) A．(1，＋∞) B．(，＋∞) C．[1，＋∞) D．(－∞，1) 6．设B(－4,0)，C(4,0)，且△ABC的周长等于18，则动点A的轨迹方程为(　　) A.＋＝1 (y≠0) B.＋＝1 (y≠0) C.＋＝1 (y≠0) D.＋＝1 (y≠0) 7．设P是椭圆 ＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　) A．锐角三角形 B