第2章一元一次不等式和一元一次不等式组 题型解读3 一元一次不等式（组）与一次函数的关系-北师大版八年级数学下册

题型解读3 一元一次不等式（组）与一次函数的关系 【方法梳理】 任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0或ax+b<0（a,b为常数，且a≠0）的形式，从这一层面上可以反映出：一元一次不等式与一次函数之间一定存在着某种联系，具体体现为：①从数的角度分析，一次函数y=ax+b的值大于或小于0时自变量x的取值范围，即是一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0的解；②从图形的角度分析，一元一次不等式ax+b>0或ax+b<0的解，就是一次函数y=ax+b图像在x轴上方或下方那部分图像上所有点的横坐标x的取值。正因为这两个知识点间存在着这样的联系，那在题目上就一定有所体现。 【典型例题】 例1.一次函数y=-1.5x+3的图像如图所示，观察图像回答下列问题： （1）x_____时，y>0； （2）x_____时，y<-3. 解析：（1）一次函数的y值要大于0，从图像上看，即直线y=-1.5x+3在x轴上方 的那条射线AB，在射线AB上的所有点的横坐标x，都会小于2，∴x<2时，y>0； （2）一次函数的y值要小于-3，从图像上看，即直线y=-1.5x+3在C点下方的的那条射线CD，在射线CD上的所有点的横坐标x，都会大于4，∴x>4时，y<-3； 例2.如图，一次函数y1=x+b与一次函数y2=kx+4的图像交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b>kx+4的解集是_________ 解析：由一元一次不等式与一次函数的关系可知，不等式x+b>kx+4的解集，就是一次函数y1=x+b的图像在一次函数y2=kx+4图像上面那部分图像，如图1红色部分图像，由图可知，红色部分图像上所有点的横坐标x，都会大于1，∴关于x的不等式x+b>kx+4的解集是x>1. 除了以上直接考查一元一次不等式与一次函数的关系外，在一元一次不等式应用题中，特别是“方案设计”应用题中，求利润的最值和方案选择上，大量运用一次函数的性质来解题。 例3．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+4的图象交于点P（1，3），则关于x的不等式x+b＞kx+4的解 集是（　　） A．x＞﹣2 B．x＞0 C．x＞1 D．x＜1 解析：不等式x+b＞kx+4，表示图像y1在图像y2上面那部分图形（是一条射线），∴x＞1，即不等式x+b＞kx+4的解集为x＞1．选C． 例4．如