第九章 解三角形 B卷 单元能力提升卷(一)-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册【创新思维】同步AB卷（人教B版）

整理得cosπ１０t＜ １ ２ , 所以２kπ＋ π３ ＜ π １０t＜２kπ＋ ５π ３ ,k∈Z, 解得２０k＋１０３ ＜t＜２０k＋ ５０ ３ (k∈Z)． 因为０≤t≤２０,所 以 只 有 当k＝０ 时,１０３ ＜t＜ ５０ ３ 符 合 题意, 即旋 转 一 周 中 有５０ ３ － １０ ３ ＝ ４０ ３ 分 钟 可 以 俯 瞰 东 昌 湖 的 美景． 第九章　解三角形 B卷􀅰单元能力提升卷(一) １．C　因为 AB＝ ３,AC＝１,△ABC 的面积S＝ １２ ×１× ３ sinA＝ ３２ , 则sinA＝１,即 A＝ π２ , 所以C＝ π３ ． ２．A　由sinC＝２sinA,可得 AB＝２BC＝２ ５． ３．B　因为２ccosB－ ３b＝２a, 所以２sinCcosB－ ３sinB＝２sinA＝２sin(B＋C) ＝２sinBcosC＋２sinCcosB, 所以－ ３sinB＝２sinBcosC． 因为sinB＞０, 所以cosC＝－ ３２ ． 因为C 为三角形的内角, 则C＝５π６ ． ４．D　由已知得bsinC＋ ２ccosB＝０, 即sinBsinC＋ ２sinCcosB＝０,因为sinC≠０, 所以sinB＋ ２cosB＝０,故tanB＝－ ２． ５．B　设 AC＝x,则２ ３－３＜x＜２ ３＋３, 因为cosC＝x ２＋(２ ３)２－３２ ２x×２ ３ ＝ x ４ ３ ＋ ３ ４ ３x ≥２ x ４ ３ × ３ ４ ３x ＝ １２ ,当 且 仅 当 x＝ ３时,等 号 成 立, 即cosC≥ １２ ,因为y＝cosx 在(０,π)内递减, 所以C∈ ０,π３( ] ６．B　∵在△ABC 中,cosBb ＋ cosC c ＝ ２ ３sinA ３sinC , ∴a ２＋c２－b２ ２abc ＋ b２＋a２－c２ ２abc ＝ ２ ３a ３c , ∴２a ２ ２abc＝ ２ ３a ３c , ∴b＝ ３２ ． ∵B＝ π３ , 由正弦定理得 a sinA＝ b sinB＝ c sinC＝ ３ ２ sin π３ ＝１, ∴a＝sinA,c＝sinC． 由 A＋B＋C＝π得 A＋C＝２π３ , ∴C＝２π３ －A ,且０＜A＜２π３ , ∴a＋c＝sinA＋sinC ＝sinA＋sin ２π３ －A( ) ＝sinA＋sin２π３cosA－cos ２π ３sinA ＝ ３２sinA＋ ３ ２cosA ＝ ３sin A＋ π６( ) ． ∵A∈ ０,２π３( ) ,A＋ π ６ ∈ π ６ ,５π ６( ) , 可得sin A＋ π６( ) ∈ １ ２ ,１( ] , ∴a＋c＝ ３sin A＋ π６( ) ∈ ３ ２ ,３ æ è ç ] , ∴a＋c的取值范围是 ３ ２ ,３ æ è ç ] ． ７．C　因为三角形为锐角三角形, 所以 A＋B＞９０°,即 A＞９０°－B, 于是sinA＞sin(９０°－B), 即sinA＞cosB． ８．B　若a２＋２abcosC＝３b２, 由余弦定理可得,a２＋a２＋b２－c２＝３b２, 即２a２－b２＝b２＋c２＝a２＋２bccosA, 整理可得,a２＝b２＋２bccosA． 因为a２＝b２＋c２－２bccosA． 所以c２＝４bccosA,即c＝４bcosA． 由正弦定理可得sinC＝４sinBcosA＝sin(A＋B) ＝sinAcosB＋sinBcosA, 即sinAcosB＝３sinBcosA, 所以tanA＝３tanB＞０, 所 以 tan C ＝ － tan (A ＋ B )＝ tanA＋tanBtanAtanB－１ ＝ ４tanB ３tan２B－１ , 则 tanA tanB􀅰tanC＋ ６ tanA＝ ３tanB tanB􀅰 ４tanB ３tan２B－１ ＋ ６３tanB＝ ３(３tan２B－１) ４tanB ＋ ２ tanB ＝ ３ ４ ３tanB＋ ５ ３tanB( ) ≥ ３ ４ × ２ ５＝３ ５２ , 当且仅当tanB＝ ５３ 时取等号． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —８６— ９．AC　由 正 弦 定 理 结