第九章 解三角形 B卷 单元能力提升卷(二)-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册【创新思维】同步AB卷（人教B版）

２２．解析:在△ABD 中,由 题 意 知,∠ADB＝ ∠BAD＝３０°, 所以 AB＝BD＝１km, 由正弦定理得 AB sin∠ADB＝ AD sin∠ABD , 解得 AD＝ ３km． 在 △ACD 中,由 AC２ ＝AD２ ＋CD２ －２AD 􀅰CD 􀅰 cos１５０°,得９＝３＋CD２＋２ ３× ３２CD , 即CD２＋３CD－６＝０, 解得CD＝ ３３－３２ (负值舍去), BC＝BD＋CD＝ ３３－１２ (km), 小 王 和 小 李 在 两 个 小 时 内 可 徒 步 攀 登 １２５０×２＝ ２５００m,即２．５千米, 而 ３３－１ ２ ＜ ３６－１ ２ ＝ ５ ２ ＝２．５ , 所以两位登山爱好者可以在两个小时内登上山峰． 第九章　解三角形 B卷􀅰单元能力提升卷(二) １．B　∵BC＝５,AC＝４,C＝６０°, ∴S△ABC ＝ １ ２BC 􀅰AC􀅰sinC＝ １２ ×５×４× ３ ２ ＝５ ３． ２．B　∵b＝１２ ３,c＝６ ６,B＝４５°, ∴由正弦定理 bsinB＝ c sinC ,可得 １２ ３ sin４５°＝ ６ ６ sinC , ∴sinC＝ １２ ． ∵c＜b, ∴C＜B,可得C＝３０°, ∴A＝１８０°－B－C＝１８０°－４５°－３０°＝１０５°． ３．A　∵在△ABC 中,A＝ π４ ,AC＝３,BC＝３ ２, ∴ 由 正 弦 定 理 ACsinB ＝ BC sinA ,得 sinB＝AC 􀅰sinA BC ＝ ３× ２２ ３ ２ ＝ １２ ． ∵BC＞AC,可得 B 为锐角, ∴B＝ π６ ． ４．B　因为b＝３,且(３－c)(sinB＋sinC)＝(a－c)􀅰sinA, 所以(b－c)(b＋c)＝(a－c)􀅰a, 即b２＝a２＋c２－ac＝(a＋c)２－３ac≥ １４ (a＋c)２, 当且仅当a＝c时等号成立, 则a＋c≤６, 故△ABC 周长的最大值为９． ５．A　因为AB→＝(cos１７°,cos７３°)＝(cos１７°,sin１７°),所 以|AB→|＝１． 因为BC→＝(２cos７７°,２cos１３°)＝２(cos７７°,sin７７°), 所以|BC→|＝２． BA→􀅰BC→＝－２(cos１７°cos７７°＋sin１７°sin７７°) ＝－２cos６０°＝－１． 所以cosB＝ BA →􀅰BC→ |BA→|􀅰|BC→| ＝－ １２ ,所以 B＝１２０°． 所以S△ABC ＝ １ ２ ×１×２×sin１２０°＝ ３ ２ ． 故选 A． ６．B　∵２c－ba ＝ cosB cosA ,可得２ccosA－bcosA＝acosB, ∴由正弦定理可得２sinCcosA－sinBcosA＝sinAcosB, 可得２sinCcosA＝sinAcosB＋sinBcosA＝sin(A＋B)＝ sinC． ∵sinC≠０, ∴可得cosA＝ １２ ． ∵a＝２ ３, ∴由余弦定 理 可 得 １２＝b２＋c２－bc≥２bc－bc＝bc,当 且 仅当b＝c＝２ ３时 等 号 成 立,此 时 S△ABC ＝ １ ２bcsinA≤ １ ２ ×１２× ３ ２ ＝３ ３ ,即△ABC 面积取得最大值３ ３． ７．B　依题意可知 AB＝BP＝６００m,BC＝CP＝２００ ３ m, ∴cos２θ＝BC ２＋BP２－PC２ ２BC􀅰BP ＝ ３ ２ , ∴２θ＝３０°,则θ＝１５°, ∴PD＝PC􀅰sin６０°＝２００ ３× ３２ ＝３００ (m)． ８．A 　 ∵ 在 △ABC 中,sin２A ＋sin２C －sin２B ＝ ３sin AsinC, ∴a２＋c２－b２＝ ３ac, ∴cosB＝a ２＋c２－b２ ２ac ＝ ３ac ２ac ＝ ３ ２ ． ∵B∈(０,π), ∴B＝ π６ ． ∵b＝１, ∴ asinA＝ c sinC＝ b sinB＝２ , ∴２a－２ ３c＝４sinA－４ ３sinC＝４sin(B＋C)－４ ３sinC ＝２cosC－２ ３sinC＝４cos π３ ＋C( ) ． ∵０＜C＜５π６ ,可得 π ３ ＜ π ３ ＋C＜ ７π ６ , ∴当 π３ ＋C＝π 时,即 C＝２π３ 时,２a－２ ３c 的 最 小 值 为 －４． ９．AB　∵a＝５ ２,c＝１０,A＝３０°, 由正弦定理可得 a sinA＝ c sinC ,即５ ２ １ ２ ＝ １０sinC , ∴sinC＝ ２２ ． ∵a＜c, ∴A＜C, 则C＝４５°或C＝１３５°, 则 B＝１０５°或 B＝１５°． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 �