第九章 解三角形 A卷 基础达标卷(二)-2020-2021学年新教材高中数学必修第四册【创新思维】同步AB卷（人教B版）

(２)因为∠CAB＝６０°,AD⊥AB 可得∠CAD＝３０°, 由四边形内角和为３６０°得∠ADC＝１５０°－θ, 所 以 在 △ADC 中, DCsin３０° ＝ ２ sin(１５０°－θ)⇒ DC ＝ １sin(１５０°－θ)． 在△ABC 中, BCsin６０°＝ ２ sinθ⇒BC＝ ３ sinθ , 所以S△BCD ＝ １ ２DC 􀅰BC􀅰sin１２０° ＝ ３４ × １ sin(１５０°－θ)sinθ ＝ ３４ × １ １ ２sinθcosθ＋ ３ ２sin ２θ ＝ ３４ × １ １ ４sin２θ－ ３ ４cos２θ＋ ３ ４ ＝ ３４ × １ １ ２sin (２θ－６０°)＋ ３４ , 当θ＝７５°时,S 取最小值６－３ ３． ２２．解析:(１)在△ABC 中,因为acosC＋ccosA＝２bcosA, 所以sinAcosC＋sinCcosA＝２sinBcosA, 即sin(A＋C)＝２sinBcosA． 因为 A＋B＋C＝π, 所以sin(A＋C)＝sinB． 从而sinB＝２sinBcosA． 因为sinB≠０, 所以cosA＝ １２ ． 因为０＜A＜π, 所以 A＝ π３ ． (２)由(１)知:２R＝ asinA＝ b sinB＝ c sinC＝ １ ３ ２ ＝２ ３３ , 可得b＋２c＝２ ３３ sinB＋ ４ ３ ３ sinC ＝２ ３３ sinB＋ ４ ３ ３ sin ２π ３ －B( ) ＝ ４ ３ ３ sinB＋２cosB ＝ ２８３ ２ ７ ７ sinB＋ ２１ ７ cosB æ è ç ö ø ÷ ＝２ ２１３ sin (B＋θ), ∴b＋２c≤２ ２１３ ． 又∵b＋２c＝b＋c＋c＞a＋c＞a＝１,即b＋２c 的 取 值 范 围是 １,２ ２１３ æ è ç ] ． 第九章　解三角形 A卷􀅰基础达标卷(二) 正弦定理与余弦定理的应用 １．D　由题意可知,李华的行走路线如图, 由余弦定理可得:AC＝ AB２＋BC２－２AB􀅰BCcos６０° ＝ ６４００＋９００－２×８０×３０× １２ ＝７０ (m)． 他回到自家楼下至少还需走７０m． ２．C　设 AD＝x,由正弦定理得 xsin∠ABD＝ BD sin∠BAD , 解得 BD＝２xsin１５°, 所以 BE＝BDcos１５°＝２xsin１５°cos１５°＝xsin３０° ＝ １２x＝１－ １ ２x , 解得x＝１． ３．B　 在 Rt△ABE 中,∵AB＝ ３, CD＝３ ３,∠AEB＝３０°,∠CED ＝４５°, ∴BE＝３,DE＝３ ３, 又 ∠BED ＝ １５０°,∴ BD ＝ ９＋２７－２×３×３ ３×cos１５０° ＝３ ７． 过 A 作 AF⊥CD 于F,则 AF＝BD＝３ ７,CF＝CD－ AB＝２ ３, ∴AC＝ AF２＋CF２＝ ６３＋１２＝５ ３(km)． ４．D　对于 A 选项,a＝７,b＝２,c＝８,三 边 关 系 确 定,所 以 △ABC 只有一解; 对于 B选项,a＝１０,B＝４５°,C＝７５°,所 以 A＝１８０°－４５° －７５°＝６０°, 由正弦定理求得b,c的值,所以△ABC 只有一解; 对于 C 选项,a＝７,b＝５,A＝８０°,由 正 弦 定 理 得sinB＝ bsinA a ＝ ５sin８０° ７ , 且b＜a,所以 B 唯一确定,所以△ABC 只有一解; 对于 D 选项,a＝７,b＝８,A＝４５°,由 正 弦 定 理 得sinB＝ bsinA a ＝ ８×sin４５° ７ ＝ ４ ２ ７ , 且b＞a,B∈(４５°,１８０°),所 以 B 的 值 有 两 个,△ABC 有 两解． ５．D　 根 据 图 形 知,在 △ABC 中,∠BAC＝３０°, ∠ACB＝７５°－３０°＝４５°,AB ＝４０, 由 正 弦 定 理 得, BC sin３０° ＝ ４０sin４５° , 解得 BC＝ ４０× １２ ２ ２ ＝２０ ２． 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 —４６— 在 Rt△BCD 中,∠DBC＝３０°, 所以CD＝BCtan３０°＝２０ ２× ３３ ＝ ２０