第19期 24.6正多边形与圆 24.7弧长与扇形面积-【数理报】2021中考数学一轮复习(沪科版 安徽专版)（答案见第21期）

书书书 １９．（１）连接ＯＢ．因为 弦ＡＢ⊥ ＯＣ， ) ＡＢ所对的圆 周角度数为６０°，所以 ) ＡＢ所 对的圆心角度数为 １２０°． 所以 ∠ＢＯＣ＝６０°．因为 ＯＢ＝ＯＣ，所以 △ＯＢＣ是 等边三角形，所以ＢＣ＝ＯＣ ＝４． （２）证明：因为 ＯＣ＝ ＣＰ，ＢＣ＝ＯＣ，所以 ＢＣ＝ ＣＰ．所以∠ＣＢＰ＝∠ＣＰＢ． 因为 △ＯＢＣ是等边三角 形，所以 ∠ＯＢＣ＝∠ＯＣＢ ＝６０°，所以∠ＣＢＰ＝３０°． 所以 ∠ＯＢＰ ＝∠ＣＢＰ＋ ∠ＯＢＣ＝９０°．所以 ＯＢ⊥ ＢＰ．因为点Ｂ在⊙Ｏ上，所 以ＰＢ是⊙Ｏ的切线． ２０．（１）证明：因为点 Ａ关于ＯＰ的对称点Ｃ恰好 落在 ⊙Ｏ上，所以 ) ＡＰ ＝ ) ＰＣ，所以∠ＡＯＰ＝∠ＣＯＰ． 所以 ∠ＡＯＰ＝ １ ２ ∠ＡＯＣ． 又 因 为 ∠ＡＢＣ ＝ １ ２ ∠ＡＯＣ，所以 ∠ＡＯＰ＝ ∠ＡＢＣ，所以ＯＰ∥ＢＣ． （２）连接ＰＣ．因为ＣＤ 为⊙Ｏ的切线，所以ＯＣ⊥ ＣＤ．又 ＡＤ⊥ ＣＤ，所以 ＯＣ ∥ ＡＤ．所 以 ∠ＡＰＯ ＝ ∠ＣＯＰ．因 为 ∠ＡＯＰ ＝ ∠ＣＯＰ，所 以 ∠ＡＰＯ ＝ ∠ＡＯＰ，所以 ＯＡ＝ＡＰ．因 为ＯＡ＝ＯＰ，所以 △ＡＰＯ 为等 边 三 角 形． 所 以 ∠ＡＯＰ＝６０°．又因为 ＯＰ ∥ ＢＣ，所 以 ∠ＯＢＣ ＝ ∠ＡＯＰ ＝６０°，又 ＯＣ ＝ ＯＢ，所以 △ＢＣＯ为等边三 角形．所以 ∠ＣＯＢ＝６０°． 所以 ∠ＰＯＣ ＝ １８０°－ （∠ＡＯＰ＋∠ＣＯＢ）＝６０°． 又ＯＰ＝ＯＣ，所以 △ＰＯＣ 也为等边三角形．所以 ∠ＰＣＯ＝６０°，ＰＣ＝ＯＰ＝ ＯＣ．又因为∠ＯＣＤ＝９０°， 所以 ∠ＰＣＤ ＝３０°．在 Ｒｔ△ＰＣＤ中，ＤＰ＝ １ ２ ＰＣ． 又因为ＰＣ＝ＯＰ＝ １ ２ ＡＢ， 所以ＤＰ＝ １ ４ ＡＢ，所以ＡＢ ＝４ＤＰ＝４． 上期４版 重点集训营 １．（１）证明：连接ＯＦ． 因为ＦＧ是⊙Ｏ的切线，所 以∠ＧＦＤ＋∠ＯＦＤ＝９０°． 书书书 重点集训营 １．如图１，ＡＢ是⊙Ｏ的直径，Ｃ是⊙Ｏ上一点，ＡＣ＝ ８，ＢＣ＝６，ＣＤ平分∠ＡＣＢ交⊙Ｏ于点Ｄ，则 ) ＡＤ的长为 （　　） 　　　　　　　　　　　　　　　　　　Ａ．π Ｂ． ３π ２ Ｃ．２π Ｄ． ５π ２ ２．文艺复兴时期，意大利艺术大师达芬奇曾研究过 圆弧所围成的许多图形的面积问题．如图２所示的图形 称为达芬奇的“猫眼”，可看成圆与正方形的各边均相切， 切点分别为Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ， ) ＢＤ所在圆的圆心为点Ａ（或Ｃ）．若 正方形的边长为２，则图中阴影部分的面积为 （　　） 槡Ａ．２ Ｂ．２ Ｃ．π－１ Ｄ．４－π２ ３．如图３，Ｒｔ△ＡＢＣ的斜边ＢＣ＝４，∠ＡＢＣ＝３０°，以 ＡＢ，ＡＣ为直径分别作圆．则这两圆的公共部分面积为 （　　） Ａ．２π ３ ＋槡３ ２ Ｂ．５π ６ － 槡２３ ３ Ｃ．５π ６ －槡３ Ｄ． ２π ３ －槡３ ４．如图４－①是由若干个相同的图形（图４－②）组 成的美丽图案的一部分．图４－②中，半径ＯＡ＝３ｃｍ， ∠ＡＯＢ＝１２０°，则图４－②的周长（三条弧长的和）为 ｃｍ（结果保留π）． ５．如图５，在 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠ＢＣＡ＝９０°，∠ＢＡＣ＝ ３０°，ＢＣ＝２，将 Ｒｔ△ＡＢＣ绕 Ａ点顺时针旋转９０°得到 Ｒｔ△ＡＤＥ，则ＢＣ扫过的面积为 （结果保留π）． ６．如图６，在平面直角坐标系中，直线ｌ的函数表达 式为ｙ＝ｘ，点Ｏ１的坐标为（１，０），以Ｏ１为圆心，Ｏ１Ｏ为 半径画圆，交直线ｌ于点Ｐ１，交ｘ轴正半轴于点Ｏ２，以Ｏ２ 为圆心，Ｏ２Ｏ为半径画圆，交直线ｌ于点Ｐ２，交ｘ轴的正 半轴于点Ｏ３，以Ｏ３为圆心，Ｏ３Ｏ为半径画圆，交直线ｌ于 点Ｐ３，交ｘ轴的正半轴于点Ｏ４，…，按此做法进行下去， 其中弧Ｐ２０１９Ｏ２０２０的长为                                     ． !" # $ % 图 ! ! " # $ 图 " 书书书 一、计算圆锥的底面半径 例１　如图１，从一 张腰长为９０ｃｍ，顶角为 １２０°的等腰三角形铁皮 ＯＡＢ中剪出一个最大的 扇形 ＯＣＤ，用此剪下的 扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥 的底面半径为 （　　） 　　　 　　　 　　　　　 　　　　Ａ．１５ｃｍ Ｂ．１２ｃｍ Ｃ．１０ｃｍ Ｄ．２０ｃｍ 分析：过点Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于点Ｅ．根据等腰三角形 的性质得到ＯＥ的长，再利用弧长公式计算出 ) ＣＤ的长． 设圆锥的底面圆的半径为ｒ，根据圆锥的侧面展开图为 一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长即可得 到ｒ． 解：过点Ｏ作ＯＥ⊥ＡＢ于点Ｅ．因为ＯＡ＝ＯＢ＝ ９０ｃｍ，∠ＡＯＢ＝１２０°，所以∠Ａ＝∠Ｂ＝