第4讲 乘法公式(提高)-2020-2021学年七年级数学下册同步精练本+双测AB卷（北师大版）

乘法公式（提高） 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 要点二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式 ；； ；. 【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 1、计算(2＋1)()( )()()()＋1． 【思路点拨】本题直接计算比较复杂，但观察可以发现2＋1与2－1，与，与等能够构成平方差，只需在前面添上因式（2－1），即可利用平方差公式逐步计算. 【答案与解析】 解：原式＝(2－1)(2＋1)( )()()()() ＋1 ＝()( )( )()()()＋1 ＝－1＋1＝． 【总结升华】对于式子较为复杂的数的计算求值问题，不妨先仔细观察，看是否有规律，然后去解决，会事半功倍，提高解题能力． 举一反三： 【变式1】计算： (1) (2)(＋)( －)( )( ) 【答案】 解：(1)原式＝[(＋3)(－3)]()＝()()＝． (2)原式＝[(＋)( －)]( )( ) ＝[()( )]( ) ＝()( )＝． 【变式2】（1）填空： （a﹣b）（a+b）=　 　； （a﹣b）（a2+ab+b2）=　 　； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=　 　． （2）猜想： （a﹣b）（an﹣1+an﹣2b+…+abn﹣2+bn﹣1）=　 　（其中n为正整数，且n≥2）． （3）利用（2）猜想的结论计算：29﹣28+27﹣…+23﹣22+2． 【答案】 解：（1）（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2； （a﹣b）（a2+ab+b2）=a3+a2b+ab2﹣a2b﹣ab2﹣b3=a3﹣b3； （a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4+a3b+a2b2+ab3﹣a3b﹣a2b2﹣ab3﹣b4=a4﹣b4； 故答案为：a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4； （2）由（1）的规律可得： 原式=an﹣bn， 故答案为：an﹣bn； （3）29﹣28+27﹣…+23﹣22+2=（2﹣1）（28+26+24+22+2）=342． 2、新实验中学校园正在进行绿地改造，原有一正方形绿地，现将它每边都增加3米，面积则增加了63平方米，问原绿地的边长为多少？原绿地的面积又为多少？ 【答案与解析】 解：设原绿地的边长为x米，则新绿地的边长为x+3米， 根据题意得，（x+3）2﹣x2=63， 由平方差公式得，（x+3+x）（x+3﹣x）=63， 解得，x=9； ∴原绿地的面积为：9×9=81（平方米）； 答：原绿地的边长为9米，原绿地的面积为81平方米． 【总结升华】本题主要考查了平方差公式的应用，两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差；（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，熟练应用平方差公式可简化计算． 举一反三： 【变式】解不等式组： 【答案】 解： 由①得，，． 由②得，， ，． ∴ 不等式组的解集为． 类型二、完全平方公式的应用 3、运用乘法公式计算： （1）；（2）． 【思路点拨】（1）是一个三项式的平方，不能直接运用完全平方公式，可以用加法结合律将化成，看成与和的平方再应用公式；（2）是两个三项式相乘，其中与完全相同，，与，分别互为相反数，与平方差公式特征一致，可适当添加括号，使完全相同部分作为“一项”，互为相反数的部分括在一起作为“另一项”． 【答案与解析】 解：（1）原式 ． （2）原式． 【总结升华】配成公式中的“”“”的形式再进行计算. 举一反三： 【变式】运用乘法公式计算： (1)； (2)； (3)；