第4讲 乘法公式(基础)-2020-2021学年七年级数学下册同步精练本+双测AB卷（北师大版）

乘法公式（基础） 【要点梳理】 要点一、平方差公式 平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点诠释：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型： （1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型 （2）系数变化：如 （3）指数变化：如 （4）符号变化：如 （5）增项变化：如 （6）增因式变化：如 要点二、完全平方公式 完全平方公式： 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形： 要点三、添括号法则 添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. 要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确. 要点四、补充公式 ；； ；. 【典型例题】 类型一、平方差公式的应用 1、下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能?能用平方差公式计算的，写出计算结果． (1)； (2) ； (3) ； (4) ； (5) ； (6) ． 【思路点拨】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可以用平方差公式. 【答案与解析】 解：(2)、(3)、(4)、(5)可以用平方差公式计算，(1)、(6)不能用平方差公式计算． (2) ＝－＝． (3) ＝ － ＝． (4) ＝－ ＝． (5) ＝－＝． 【总结升华】利用平方差公式进行乘法运算，一定要注意找准相同项和相反项（系数为相反数的同类项）． 举一反三： 【变式】计算：（1）； （2）； （3）． 【答案】 解：（1）原式． （2）原式． （3）原式． 2、计算： (1)59.9×60.1； (2)102×98． 【答案与解析】 解：(1)59.9×60.1＝(60－0.1)×(60＋0.1)＝＝3600－0.01＝3599.99 (2)102×98＝(100＋2)(100－2)＝＝10000－4＝9996． 【总结升华】用构造平方差公式计算的方法是快速计算有些有理数乘法的好方法，构造时可利用两数的平均数，通过两式(两数)的平均值，可以把原式写成两数和差之积的形式．这样可顺利地利用平方差公式来计算． 举一反三： 【变式】怎样简便就怎样计算： （1）1232﹣124×122 （2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b） 【答案】 解：（1）1232﹣124×122 =1232﹣（123+1）（123﹣1） =1232﹣（1232﹣1） =1232﹣1232+1 =1； （2）（2a+b）（4a2+b2）（2a﹣b） =（2a+b）（2a﹣b）（4a2+b2） =（4a2﹣b2）（4a2+b2） =（4a2）2﹣（b2）2 =16a4﹣b4． 类型二、完全平方公式的应用 3、计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【思路点拨】此题都可以用完全平方公式计算，区别在于是选“和”还是“差”的完全平方公式. 【答案与解析】 解：(1) ． (2) ． (3) ． (4) ． 【总结升华】(1)在运用完全平方公式时要注意运用以下规律：当所给的二项式符号相同时，结果中三项的符号都为正，当所给的二项式符号相反时，结果中两平方项为正，乘积项的符号为负．(2)注意之间的转化． 4、图a是由4个长为m，宽为n的长方形拼成的，图b是由这四个长方形拼成的正方形，中间的空隙，恰好是一个小正方形． （1）用m、n表示图b中小正方形的边长为　 　． （2）用两种不同方法表示出图b中阴影部分的面积； （3）观察图b，利用（2）中的结论，写出下列三个代数式之间的等量关系，代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn； （4）根据（3）中的等量关系，解决如下问题：已知a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值． 【答案与解析】 解：（1）图b中小正方形的边长为m﹣n．故答案为m﹣n； （2）方法①：（m﹣n）（m﹣n）=（m﹣n）2； 方法②：（m+n）2﹣4mn； （3）因为图中阴影部分的面积不变，所以（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn； （4）由（3）得：（a﹣b）2=（a