专题1.11 与角平分线有关的几何模型（知识讲解）-2020-2021学年八年级数学下册基础知识专项讲练（湘教版）

专题1.11 与角平分线有关的几何模型（知识讲解） 【知识回顾】 1、角平分线的定义:从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 2、角平分线的性质：角的平分线的性质：角的平分线上的点到角两边的距离相等. 3、角平分线的判定：在角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上. 【学习目标】 1．了解几何模型的含义； 2．掌握角平分线的几何模型，并运用几何模型解决问题. 【要点梳理】 1、模型一、 角平分线+平行线模型 如图，P是∠MO的平分线上一点，过点 P作PQ∥ON，交OM于点Q。 结论：△POQ是等腰三角形。 特别说明： 有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。 【典型例题】 1、 解答下列问题： （1）如图①所示，在△ABC中，EF∥BC，点D在EF上，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB，写出线段EF与BE、CF有什么数量关系； （2）如图②所示，BD平分∠ABC、CD平分∠ACG，DE∥BC交AB于点E，交AC于点F，线段EF与BE、CF有什么数量关系？并说明理由。 （3）如图③所示，BD、CD分别为外角∠CBM、∠BCN的平分线，，DE∥BC交AB延长线于点E，交AC延长线于点F，直接写出线段EF与BE、CF有什么数量关系？ 举一反三： 【变式】如图，点I为△ABC角平分线交点，AB＝8，AC＝6，BC＝5，将∠ACB平移使其顶点C与点I重合，则图中阴影部分的周长为__． 【答案】8 【分析】此题有角平分线，平移可知ID//AC,BC//IE,构造平行线+角平分线解决问题：解：解：如图，连接AI，BI， ∵点I为△ABC角平分线交点， ∴IA和IB分别平分∠CAB和∠CBA， ∴∠CAI＝∠DAI，∠CBI＝∠EBI， ∵将∠ACB平移，使其顶点与点I重合， ∴DI∥AC，EI∥BC， ∴∠CAI＝∠DIA，∠CBI＝∠EIB， ∴∠DAI＝∠DIA，∠EBI＝∠EIB， ∴DA＝DI，EB＝EI， ∴DE+DI+EI＝DE+DA+EB＝AB＝8． 即图中阴影部分的周长为8． 故答案为：8． 【点拨】解题关键在于作辅助线构造平行线+角平分线几何模型。 2、模型二、 角