8.6空间直线、平面的垂直-【新教材】人教A版（2019）高中数学必修第二册同步讲义（机构专用）

8.6 空间直线、平面的垂直 SHAPE \* MERGEFORMAT 1、直线与平面垂直 （1）定义：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α；直线l叫做平面α的垂线；平面α叫做直线l的垂面；直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足． （2）画法：通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直． （3）判定定理：文字描述，一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．符号表示：a⊂α，b⊂α，a∩b＝A，l⊥a，l⊥b⇒l⊥α. 2、面面垂直 （1）定义：如果两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． （2）画法： 记作：α⊥β. （3）面面垂直的判定定理． 文字语言：一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直． 符号表示： 3、性质定理 直线与平面垂直 平面与平面垂直 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行　　　 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 符号语言 图形语言 作用 ①线面垂直⇒线线平行； ②作平行线　　 　 ①面面垂直⇒线面垂直； ②作面的垂线　 4、异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． （2）异面直线所成的角θ的取值范围：(0°，90°]. （3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b． 5、直线与平面所成的角 （1）定义：一条直线和一个平面相交，但不垂直，这条直线称为平面的斜线，斜线与平面的交点叫做斜足． 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过斜足和垂足的直线叫做斜线在平面上的射影．平面的一条斜线和它 在平面上的射影所成的锐角，叫做直线和平面所成的角. 如图，∠PAO就是斜线AP与平面α所成的角． （2）特别的，当直线AP与平面α垂直时，它们所成的角是90°；当直线与平面平行，或在平面内时，它们所成的角是0°． （3）直线和平面所成角θ的范围[0°，90°]． 6、二面角 （1）二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角；这条直线叫做二面角的棱．这两个半平面叫做二面角的面． 如图，记作：二面角α-l-β或P-AB-Q或P-l-Q． （2）