八年级动点专题9：三角形中对称变换的动点问题

[在此处键入] [在此处键入] [在此处键入] 八年级动点专题9：三角形中对称变换的动点问题 本专题将八年级所遇到的旋转类动点问题问题进行梳理，体现其解题核心——动中求静，灵活运用相关数学知识进行解答，有时需要借助或构造一些数学模型来解答. 【典型例题】 1.如图①，点为直线上一点，过点作射线，将一直角三角板如图摆放（）． （1）若，求的大小． （2）将图①中的三角板绕点旋转一定的角度得图②，使边恰好平分，问：是否平分？请说明理由． （3）将图①中的三角板绕点旋转一定的角度得图③，使边在的内部，如果，则与之间存在怎样的数量关系？请说明理由． 【方法导引】 （1）根据∠MOC=∠MON+∠BOC计算即可； （2）由角平分线定义得到角相等的等量关系，再根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据题干已知条件将一个角的度数转换为两个角的度数之和，列出等式即可得出结论． 【解析】 (1) ∵∠MON=90° ， ∠BOC=35°， ∴∠MOC=∠MON+∠BOC= 90°+35°=125°． (2)ON平分∠AOC． 理由如下： ∵∠MON=90°， ∴∠BOM+∠AON=90°，∠MOC+∠NOC=90°． 又∵OM平分∠BOC，∴∠BOM=∠MOC． ∴∠AON=∠NOC． ∴ON平分∠AOC． (3)∠BOM=∠NOC+40°． 理由如下： ∵∠CON+∠NOB=50°，∴∠NOB=50°-∠NOC． ∵∠BOM+∠NOB=90°， ∴∠BOM=90°-∠NOB=90°-(50°-∠NOC)=∠NOC+40°． 2. 在等边中，点P、Q是BC边上的两个动点（不与点B、C重合），且AP=AQ. （1）如图1，已知，，求的度数； （2）点Q关于直线AC的对称点为M，分别联结AM、PM； ①当点P分别在点Q的左侧和右侧时，依据题意将图2、图3补全（不写画法）； ②小明提出这样的猜想：点P、Q在运动的过程中，始终有PA=PM. 经过小红验证，这个猜想是正确的，请你在①的点P、Q的两种位置关系中选择一种说明理由. 【解析】（1）∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形， ∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ=20°，∴∠AQB=∠APQ=∠BAP+∠B=80°； （2）①如下图2、图3所示；②选择第一种P在Q的左侧；如图2，联结CM，∵AP=AQ，∴∠APQ=∠AQP，∴∠APB=∠AQC，∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAP=∠CAQ， ∵点Q关于直线AC的对称点为M，∴AQ=AM，∠QAC=∠MAC，∴∠MAC=∠BAP，∴∠BAP+∠PAC=∠MAC+∠CAP=60°，∴∠PAM=60°，∵AP=AQ，∴AP=AM，∴△APM是等边三角形，∴AP=PM． 3.如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10. （1）在旋转过程中， ①当A、D、M三点在同一直线上时，求AM的长. ②当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长. （2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长. 【方法导引】（1）①根据点D及M的运动轨迹为圆，根据位置关系判断出点A、D、M三点在同一直线上时有两种情况，点D在A与M之间或点M在A与D之间；②由题意知D、M均可能为直角顶点，分类讨论求解；（2）由题意知△AD1D2是等腰直角三角形，连接CD1，△ABD2≌△ACD1，由∠D1D2C=90°，利用勾股定理求得CD1的值，即为BD2的值. 【解析】（1）①点D在A与M之间时，AM=AD+DM=30+10=40. 点M在A与D之间时，AM=AD－DM=30－10=20. ②当∠ADM=90°时， 由勾股定理得AM=; 当∠AMD=90°时， 由勾股定理得AM=; （2）∵摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处， ∴AD1=AD2，∠D1AD2=90°， ∴∠AD1D2=∠AD2D1=45°，D1D2= ∵∠AD2C=135°， ∴∠D1D2C=90°， 连接D1C，如下图所示， ∵∠BAD2+∠D2AC=∠CAD1+∠D2AC=90°， ∴∠BAD2=∠CAD1 ∵AB=AC，AD2=AD1， ∴△ABD2≌△ACD1 ∴BD2= CD1 在Rt△D1D2C中，由勾股定理得：D1C=. 【素养提升】 1.已知、在Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕点