八年级动点专题8：截长补短模型解决动点问题

八年级动点专题8：截长补短模型解决动点问题 截长补短法包含两层意思,即截长和补短.截长就是在较长的线段上截取一段等于要证的两段较短的线段中的一段,证剩下的那一段等于另外一段较短的线段，在初中几何教学中有着十分重要的作用,它主要是用来证线段的和差问题． 【方法导引】 1、补短法：通过添加辅助线“构造”一条线段使其为求证中的两条线段之和，在证所构造的线段和求证中那一条线段相等； 2、截长法：通过添加辅助线先在求证中长线段上截取与线段中的某一段相等的线段，在证明截剩部分与线段中的另一段相等。 3、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明，这种做法一般遇到证明三条线段之间关系是常用. 如图1，若证明线段AB,CD,EF之间存在EF=AB+CD,可以考虑截长补短法. 截长法：如图2，在EF上截取EG=AB,在证明GF=CD即可； 补短法：如图3，延长AB至H点，使BH=CD,再证明AH=EF即可. 范例 如图，已知：在正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E. 求证：AB+BE=AC． 解法1:（补短法或补全法）延长AB至F使AF=AC，A B C D F E G 由已知△AEF≌△AEC，∴∠F=∠ACE=45°， ∴BF=BE，∴AB+BE=AB+BF=AF=AC． 解法2:（截长法或分割法）在AC上截取AG=AB，由已知 △ABE≌△AGE，∴EG=BE, ∠AGE=∠ABE. ∵∠ACE=45°, ∴CG=EG,∴AB+BE=AG+CG=AC． 【典型例题】 1. 如图，在RtΔBCD中，∠CBD=90°，BC=BD，点A在CB的延长线上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F. （1） 当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：BC﹣DE=DF. （2） 当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示。线段BC、DE和DF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明. 【方法导引】为了证明图（2）的结论，需要构造等腰直角三角形，在BC上截取BH，使得BH=BE.连接EH，再证△AHE≌△EDF，即可得出结论．图（3）同理可证． 【解析】（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．  ∵BC=AB=BD，BE=BH， ∴AH=ED，  ∵∠AEF=∠ABE=90°，  ∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°， ∴∠FED=∠HAE， ∵∠BHE=∠CDB=45°， ∴∠AHE=∠EDF=135°， ∴△AHE≌△EDF， ∴EH=DF，  ∴BC﹣DE=BD﹣DE=BE=EH ∵EH=DF． ∴BC﹣DE=DF．  （3） 解：如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：DF=EH． 可得：DE﹣BC=DF． 如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：DF=HE， 可得BC+DE=DF． 2.正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OEMN于点E，过点B作BF⊥MN于点F。 （1）如图1，点O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明） （2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明。 【方法导引】（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF﹣EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证． 【解析】（1）证明：如图， 过点B作BG⊥OE于G， 则四边形BGEF是矩形， ∴EF=BG，BF=GE， 在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°， ∵BG⊥OE， ∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG， ∵在△AOE和△OBG中， ， ∴△AOE≌△OBG（AAS），