八年级动点专题7：三角形中的旋转类动点问题

八年级动点专题7：三角形中的旋转类动点问题 【方法导引】三角形中旋转类动点问题核心是寻找运动前后的不变量，尤其要寻找角的变化。 【典型例题】 1.在△ABC和△ADE中，BA=BC，DA=DE，且∠ABC=∠ADE=，点E在△ABC的内部，连接EC，EB和BD，并且∠ACE+∠ABE=90°. （1）如图1，当=60°时，线段BD与CE的数量关系为 ，线段EA，EB，EC的数量关系为 ； （2）如图2当=90°时，请写出线段EA，EB，EC的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，当点E在线段CD上时，若BC=，请直接写出△BDE的面积. 【方法导引】（1）由△DAB≌△EAC（SAS），可得BD=EC，∠ABD=∠ACE，由∠ACE+∠ABE=90°，推出∠ABD+∠ABE=90°，可得∠DBE=90°，由此即可解决问题；（2）结论：EA2=EC2+2BE2．由题意△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，想办法证明△DAB∽△EAC，推出=，∠ACE=∠ABD，可得∠DBE=90°，推出DE2=BD2+BE2，即可解决问题；（3）首先证明AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x，在Rt△ADC中，利用勾股定理即可解决问题； 【解析】 1. 如图①中， ∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=60°， ∴△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AD=AE，AB=AC，∠DAE=∠BAC=60°， ∴∠DAB=∠EAC， ∴△DAB≌△EAC（SAS）， ∴BD=EC，∠ABD=∠ACE， ∵∠ACE+∠ABE=90°， ∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=DE，BD=EC， ∴EA2=BE2+EC2． 故答案为BD=EC，EA2=EB2+EC2． （2）结论：EA2=EC2+2BE2． 理由：如图②中， ∵BA=BC，DA=DE．且∠ABC=∠ADE=90°， ∴△ABC，△ADE都是等腰直角三角形， ∴∠DAE=∠BAC=45°， ∴∠DAB=∠EAC， ∵=， =， ∴， ∴△DAB∽△EAC， ∴=，∠ACE=∠ABD， ∵∠ACE+∠ABE=90°， ∴∠ABD+∠ABE=90°， ∴∠DBE=90°， ∴DE2=BD2+BE2， ∵EA=DE，BD=EC， ∴EA2=EC2+BE2， ∴EA2=EC2+2BE2． （3）如图③中， ∵∠AED=45°，D，E，C共线， ∴∠AEC=135°， ∵△ADB∽△AEC， ∴∠ADB=∠AEC=135°， ∵∠ADE=∠DBE=90°， ∴∠BDE=∠BED=45°， ∴BD=BE， ∴DE=BD， ∵EC=BD， ∴AD=DE=EC，设AD=DE=EC=x， 在Rt△ABC中，∵AB=BC=2， ∴AC=2， 在Rt△ADC中，∵AD2+DC2=AC2， ∴x2+4x2=40， ∴x=2（负根已经舍弃）， ∴AD=DE=2， ∴BD=BE=2， ∴S△BDE=×2×2=2． 2.如图1是实验室中的一种摆动装置，BC在地面上，支架ABC是底边为BC的等腰直角三角形，摆动臂AD可绕点A旋转，摆动臂DM可绕点D旋转，AD=30，DM=10. （1）在旋转过程中， ①当A、D、M三点在同一直线上时，求AM的长. ②当A、D、M三点为同一直角三角形的顶点时，求AM的长. （2）若摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处，连接D1D2，如图2，此时∠AD2C=135°，CD2=60，求BD2的长. 【方法导引】（1）①根据点D及M的运动轨迹为圆，根据位置关系判断出点A、D、M三点在同一直线上时有两种情况，点D在A与M之间或点M在A与D之间；②由题意知D、M均可能为直角顶点，分类讨论求解；（2）由题意知△AD1D2是等腰直角三角形，连接CD1，△ABD2≌△ACD1，由∠D1D2C=90°，利用勾股定理求得CD1的值，即为BD2的值. 【解析】（1）①点D在A与M之间时，AM=AD+DM=30+10=40. 点M在A与D之间时，AM=AD－DM=30－10=20. ②当∠ADM=90°时， 由勾股定理得AM=; 当∠AMD=90°时， 由勾股定理得AM=; （2）∵摆动臂AD顺时针旋转90°，点D的位置由△ABC外的点D1转到其内的点D2处， ∴AD1=AD2，∠D1AD2=90°， ∴∠AD1D2=∠AD2D1=45°，D1D2= ∵∠AD2C=135°， ∴∠D1D2C=90°， 连接D1C，如下图所示， ∵∠BAD2+∠D2AC=∠CAD1+∠D2AC=90°， ∴∠BAD2=∠CAD1 ∵A