八年级动点专题6：角平分线模型解决动点问题

八年级动点专题6：角平分线模型解决动点问题 【方法导引】在初中几何证明中，常会遇到与角平分线有关的问题，其策略是:明确辅助线作用，记清相应模型辅助线作法，理解作辅助线以后的目的。 【基本模型】 1.角平分线垂两边 当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题. 2.角平分线+内垂直 当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题. 3.角平分线+截线段等 当已知条件中出现为的角平分线、不具备特殊位置时，辅助线的作法大都为在上截取，连结即可.即有≌，利用相关结论解决问题. 4.角平分线+平行线 当已知条件中出现为的角平分线，点角平分线上任一点时，辅助线的作法大都为过点作//或//即可.即有是等腰三角形，利用相关结论解决问题. 【典型例题】 1、如图，F，G是OA上两点，M，N是OB上两点，且FG =MN，S△PFG =S△PMN，试问点P是否在∠AOB的平分线上？ 解：过点P分别向OA、OB作垂线， S△PFG=PGPE，S△PMN=MNPH，FG =MN PH=PE 点P在∠AOB的平分线上. 2、如图，BAMN，垂足为A，BA =4，点P是射线AN上的一个动点（点P与点A不重合），∠BPC =∠BPA，BCBP，过点C作CDMN，垂足为D，设AP =x.CD的长度是否随着x的变化而变化？若变化，请用含x的代数式表示CD的长度；若不变化，请求出线段CD的长度. 解：CD的长度不变 理由如下: 如图，延长CB和PA，记交点为点Q ∠BPC ＝∠BPA，BC⊥BP ∴QB＝BC(等腰三角形“三合一＂的性质) BA⊥MN，CD⊥MM ∴AB∥CD， ∴△QAB ∽△△QDC AB/CD=QB/QC=1/2 ∴CD＝2AB＝2×4＝8 即CD＝8; 3.如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA、OB交于C、D．PC和PD有怎样的数量关系，证明你的结论． 解：PC=PD． 证明：如图，作PE⊥OC于E，PF⊥OB于F． 可得∠PEC=∠PFD=90°，PE=PF． 又∵∠CPE＋∠EPD=∠FPD＋∠EPD=90°， ∴∠EPC =∠FPD． ∴△CPE≌△DPF（ASA）． ∴PC=PD． 4.在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题： （1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM； （2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明； （3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM=　 　，CF=　 　． 【方法导引】(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，NC=NM=BM进而得出结论； （2）①如图②时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得BE﹣CF=BM， ②如图③时，同（1）可证△BME≌△NMF，可得CF﹣BE=BM； (3) 在Rt△ABM和Rt△ANM中，， 可得Rt△ABM≌Rt△ANM，后分别求出AB、 AC、 CN 、BM、 BE的长，结合（1）（2）的结论对图①②③进行讨论可得CF的长. 【解析】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形， ∴∠BAC=∠C=45°， ∵AM是∠BAC的平分线，MN⊥AC， ∴BM=MN， 在四边形ABMN中，∠，BMN=360°﹣90°﹣90°﹣45°=135°， ∵∠ENF=135°，， ∴∠BME=∠NMF， ∴△BME≌△NMF， ∴BE=NF， ∵MN⊥AC，∠C=45°， ∴∠CMN=∠C=45°， ∴NC=NM=BM， ∵CN=CF+NF， ∴BE+CF=BM； （2）针对图2，同（1）的方法得，△BME≌△NMF， ∴BE=NF， ∵MN⊥AC，∠C=45°， ∴∠CMN=∠C=45°， ∴NC=NM=BM， ∵NC=NF﹣CF， ∴BE﹣CF=BM； 针对图3，同（1）的方法得，△BME≌△NMF， ∴BE=NF， ∵MN⊥AC，∠C=45°， ∴∠CMN=∠C=45°， ∴NC=NM=BM， ∵NC=CF﹣NF， ∴CF﹣BE=BM； （3）在Rt△ABM和Rt△ANM中，， ∴Rt△ABM≌Rt△ANM（HL）， ∴AB=AN=+