八年级动点专题5：倍长中线法解决动点问题

八年级动点专题5：倍长中线法解决动点问题 【方法导引】 倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，然后往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）。 【基本构图】 题干中出现三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法. 方法导引： 1.倍长中线（线段）造全等 在△ABC中 AD是BC边中线 2.延长AD到E， 使DE=AD，连接BE 3.作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE 延长MD到N， 使DN=MD，连接CD 【典型例题】 1. 在△ABC中，∠BAC=60°，∠C=40°AP平分∠BAC交BC于P，BQ平分∠ABC交AC于Q， 求证：AB+BP=BQ+AQ． 证明：如图，过O作OD∥BC交AB于D， ∴∠ADO=∠ABC=180°－60°－40°=80°. ∵∠AQO=∠C+∠QBC=80°，∴∠ADO=∠AQO. ∵∠DAO=∠QAO，OA=OA，∴△ADO≌△AQO， ∴OD=OQ，AD=AQ. ∵OD∥BP，∴∠PBO=∠DOB. ∵∠PBO=∠DBO，∴∠DBO=∠DOB，∴BD=OD. ∵∠BPO=∠PAC+∠PCA=30°+40°=70°，∠BOP= ∠BAO+∠ABO=30°+40°=70°，∴BP=BO. ∴AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ． 2.已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD=BE；（2）求证：△MNC是等边三角形． 详解：（1）∵△ABC、△CDE都是等边三角形，∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，∵∠ACB+∠BCD=∠ACD，∠DCE+∠BCD=∠BCE，∴∠ACD=∠BCE， 在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD=BE； （2）∵△ACD≌△BCE，∴∠CAD=∠CBE，∵点M、N分别是线段AD、BE的中点，AD=BE，∴AM=BN，在△ACM和△BCN中，， ∴△ACM≌△BCN（SAS）。 ∴CM=CN，∠ACM=∠BCN，∴∠MCN=∠BCM+∠BCN=∠BCM+∠ACM=∠ACB=60°，∴△MNC是等边三角形． 3.已知ΔABC中，M为BC的中点，直线m绕点A旋转，过B、M、C分别作BD⊥m于E，CF⊥m于F。 （1）当直线m经过B点时，如图1，易证EM=CF。（不需证明） （2）当直线m不经过B点，旋转到如图2、图3的位置时，线段BD、ME、CF之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况加以证明。 【方法导引】图2，连接DM并延长交FC的延长线于K ，可证△DBM≌△KCM，再利用三角形中位线即可得出结论。图3同图2证明相同。 【解析】（2）图2的结论为:ME=(BD+CF)  图3的结论为: ME=(CF-BD) 图2的结论证明如下：连接DM并延长交FC的延长线于K     又∵BD⊥m,CF⊥m  ∴BD∥CF ∴∠DBM=∠KCM  又∵∠DMB=∠CMK BM=MC  ∴△DBM≌△KCM ∴DB=CK   DM=MK  由易证知:EM=FK ∴ME=(CF+CK)=(CF+DB)  图3的结论证明如下：连接DM并延长交FC于K  又∵BD⊥m,CF⊥m  ∴BD∥CF ∴∠MBD=∠KCM  又∵∠DMB=∠CMK BM=MC  ∴△DBM≌△KCM ∴DB=CK   DM=MK  由易证知:EM=FK ∴ME=(CF-CK)=(CF-DB) 【素养提升】 1、已知：ΔAOB和ΔCOD均为等腰直角三角形，∠AOB=∠COD=90°，连接AD，BC，点H为BC中点，连接OH。 （1） 如图1所示，易证OH=AD且OH⊥AD（不需证明） （2） 将ΔCOD绕点O旋转到图2，图3所示位置是，线段OH与AD又有怎样的关系，并选择一个图形证明你的结论。 【方法导引】（1）只要证明△AOD≌△BOC，即可解决问题； ①如图2中，结论：OH=AD，OH⊥AD．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE， 由△BEO≌△ODA即可解决问题； ②如图3中，结论不变．延长OH到E，使得HE=OH，连接BE，延长EO交AD于G．由△BEO≌△ODA即可解决问题； 【解析】（1）证明：如图1中， ∵△OAB与△OCD