八年级动点专题20：半角模型解决动点问题

八年级动点专题20：半角模型解决动点问题 半角模型应用比较广泛：理解半角模型的定义，掌握正方形背景中半角模型的模型的应用，掌握等腰直角三角形背景中半角模型的应用非常重要。 【知识总结】 过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。 常见的图形为正方形，正三角形，等腰直角三角形等，解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。 解题技巧： 在图1中，△AEB由△AND旋转所得，可得△AEM≌△AMN， ∴BM+DN=MN ∠AMB=∠AMN AB=AH △CMN的周长等于正方形周长的一半 在图2中将△ABC旋转至△BEF，易得△BED≌△BCD同理得到边角之间的关系； 总之：半角模型（题中出现角度之间的半角关系）利用旋转——证全等——得到相关结论. 【典型例题】 1、正方形ABCD中，E是CD边上一点. 将△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF，如图1所示，观察可知：与DE相等的线段是______,∠AFB=_______. 如图2，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、CD边上的点，且∠PAQ=45°，试通过旋转的方式说明：DQ+BP=PQ. 【解析】∵△ADE绕点A按顺时针方向旋转，使AD、AB重合，得到△ABF, ∵DE=BF,∠AFB=∠AED.[来源:Z*xx*k.Com] 将△ADQ绕点A按顺时针方向旋转90°，则AD与AB重合，得到△ABE，如图2， 则∠D=∠ABE=90° 即点E,BP共线，∠EAQ=∠BAD=90°，AE=AQ,BE=DQ ∵∠PAQ=45° ∠PAE=45° ∴∠PAQ=∠PAE 在△APE和△APQ中 AE=AQ ∠PAE=∠PAQ AP=AP △APE≌△APQ(SAS) ∴PE=PQ 而PE=PB+BE=PB+DQ ∴DQ+BP=PQABD 2、如图，已知△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D,E是BC边上的点，将△ABD绕点A旋转，得到△，当∠DAE=45°时，求证：DE=；在（1）的条件下，猜想：有怎样的数量关系？请写出，并说明理由. 【解析】 因为△ABD绕点A旋转，得到 ∴AD=，∠DAD’=∠BAC=90° ∵∠DAE=45° ∴∠EAD’=∠DAD’-∠DAE=45° ∴在△AED和△中 AE=AE ∠EAD=∠AED’ AD=AD’ ∴△AED≌△AED’ ∴DE=D’E 由（1）得△AED≌△AED’，ED=ED’ 在△ABC中，AB=AC,∠BAC=90° ∴∠B=∠ACB=45° ∵△ABD绕点A旋转，得到△ACD’ ∴BD=CD’,∠B=∠ACD’=45° ∴∠BCD’=∠ACB+∠ACD’=45°+45°=90° 3、在等边△ABC的两边AB，AC所在直线上分别有两点M、N，D为△ABC外一点，且∠MDN=60°，∠BDC=120°，BD=DC.探究：当M、N分别在直线AB,AC上移动时，BM, NC,MN之间的数量关系及△AMN的周长Q与等边△ABC的周长L的关系， 如图1，△ABC是周长为9的等边三角形，则△AMN的周长Q=_______ 如图2，当点M,N边AB,AC上，且DM=DN时，BM,NC,MN之间的数量关系是______;=_______ 点M,N在边AB,AC上，且当DM≠DN时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明. 【解析】（1）如图2，延长AC至E，使CE=BM,连接DE 可得△MBD≌△ECD(SAS) ∴DM=DE,∠BDM=∠CDE ∴∠EDM=∠BDC-∠MDN=60° 同理可得△MDN≌△EDN(SAS) ∴MN=NE=NC+BM ∵△AMN的周长Q=AM+AN+MN=AM+AN+(NV+BM)=(AM+BM)+(AN+NC)=AB+AC=2AB 等边△ABC的周长L=3AB=9，AB=3，则Q=6 （2）如图，BM,NC,MN之间的数量关系BM+NC=MN.此时 （3）（2）中的结论仍然成立，证明参考（1）[来源:Z+xx+k.Com] 4、已知：在△ABC中，∠BAC＝2∠B，AD⊥BC，点D为BC的中点． （1）如图1，求∠B的度数； （2）如图2，点E为AC上一点，连接DE并延长至点F，连接CF，过点C作CH⊥DF，垂足为点H，若DH＝CF+HF，探究∠F与∠FDC之间的数量关系，并加以证明； （3）如图3，在（2）的条件下，在AD上取点P，连接BP，使得∠BPD＝∠F，将线段EF沿着EC折叠并延长交BC于点G，当BP：PD＝12：5，GC﹣PD＝3时，求GC的长． （1）∵AD⊥BC，D为BC中点， ∴AB＝AC， ∴