八年级动点专题19：四边形中旋转类动点问题

八年级动点专题4：四边形中的旋转类动点问题 【方法导引】三角形中旋转类动点问题核心是寻找运动前后的不变量，尤其要寻找角的变化。【典型例题】 1.（1）如图1，E是正方形ABCD边AB上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转90°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G. ①线段DB和DG之间的数量关系是 ； ②写出线段BE，BF和DB之间的数量关系. （2）当四边形ABCD为菱形，∠ADC=60°，点E是菱形ABCD边AB所在直线上的一点，连接BD、DE，将∠BDE绕点D逆时针旋转120°，旋转后角的两边分别与射线BC交于点F和点G. ①如图2，点E在线段AB上时，请探究线段BE、BF和BD之间的数量关系，写出结论并给出证明； ②如图3，点E在线段AB的延长线上时，DE交射线BC于点M，若BE=1，AB=2，直接写出线段GM的长度. 图1 图2 图3 【解析】（1）由旋转知：∠GDB=90°， ∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线， ∴∠DBG=45°， ∴∠DGB=45°， ∴DG=DB， ②在△DBE和△DGF中， ∴△DBE≌△DGF， ∴BE=GF， 由①知，BD=DG，∠BDG=90°， 即△BDG是等腰直角三角形， ∴BG=BD， 即. （2）① 理由如下： 在菱形ABCD中，∠ABD=∠CBD=∠ABC=30°， 由旋转可得，∠EDF=∠BDG=120°， ∴∠EDF-∠BDF=∠BDG-∠BDF，即∠FDG=∠BDE. 在△DBG中，∠G=180°-∠BDG-∠DBG=30°， ∴∠DBG=∠G=30°， ∴BD=DG. 在△BDE和△GDF中， ∴△BDE≌△△GDF（ASA）， ∴BE=GF， ∴BE+BF=BF+GF=BG. 过点D作DM⊥BG于点M，如下图所示， ∵BD=DG， ∴BG=2BM. 在Rt△BMD中，∠DBM=30°， ∴BD=2DM， 设DM=a，则BD=2a，BM=. ∴BG=， ∴ ∴BF+BE=BD. ②GM的长度为. 理由： ∵GF=BE=1，FC=2CD=4，CM=BC=, ∴GM=GF+FC+CM=1+4+=. 2.（1）如图1，菱形AEGH的顶点E、H在菱形ABCD的边上，且∠BAD=60°，请直接写出HD:GC:EB的值； （2）将图1中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度，如图2，求HD:GC:EB； （3）把图2的菱形都换成矩形，如图3，且AD:AB=AH:AE=1:2，此时HD:GC:EB的结果与（2）小题的结果相比有变化吗？如果有变化，直接写出变化后的结果；若无变化，说明理由. 图1 图2 图3 【解析】（1）HD:GC:EB=1：：1； （2） 如图，连接AC，BD交于点O，连接AG， 由题意知：AD=AB，AH=AE，∠DAB=∠HAE=60°， ∴∠DAH=∠BAE， ∴△DAH≌△BAE， ∴DH=BE, 又∠DAB=60°，ABCD是菱形， ∴∠DAC=30°，AC⊥BD，BD=2OD，AC=2OA， 在Rt△AOD中，OD:OA=, ∴BD:AC=, 由△ABD是等边三角形，得：AD=BD， 即AD:AC=, 同理，得AH:AG=, ∴AD:AC=AH:AG， 又∠DAC=∠HAG，∠DAH+∠HAC=∠CAG+∠HAC，即∠DAH=∠CAG， ∴△DAH∽△CAG， ∴DH:GC=, ∴HD:GC:EB=1: :1. (3)有变化，HD:GC:EB=1: :2. 如上图所示，由题意知：∠1+∠HAB=∠2+∠HAB=90°， ∴∠1=∠2， 由AH:AE=AD:AB=1:2，得：AH:AD=AE:AB， ∴△ADH∽△ABE， ∴HD:EB=1:2， 连接AG，AC， 由∠2+∠HAC=∠3+∠HAC，得：∠2=∠3， AG=AH，AC=AD, ∴AD:AC=AH:AG, ∴△ADH∽△ACG， ∴HD:GC=1:， ∴HD:GC:EB=1: :2. 3.如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD. （1）求的值； （2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证：MF=PF； （3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ、BN，将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q’落在边AD上. 请判断旋转后B的对应点B’是否落在线段BN上，请说明理由. 【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，边长为2，