八年级动点专题18：四边形中的折叠类动点问题

八年级动点专题18：四边形中的折叠类动点问题 【方法导引】 本专题所遇到的折叠类动点问题进行梳理，体现其解题核心思想——动中求静，寻求运动中的不变量，灵活运用相关数学知识进行解答. 基本构图 图 形 条 件 结 论 将△ACD沿矩形对角线AC折叠，D点对应点为F （1）△AFE≌△CBE （2）∠EAC=∠ECA （3）AE=CE 将△AFD沿AF折叠，使点D的落点（E）在对角线AC上 （1）△ADF≌△AEF （2）CE=AC－AD CF=CD－EF 将矩形ABCD对折，折痕EF 再将△ADH沿AH折叠，使点A落在EF上 （1）AG=2AE （2）∠1=∠2=∠3=30° 将矩形ABCD沿EF折叠，使点B和点D重合 （1）∠1=∠2=∠3 （2）DE=DF （3）DE=BE，FC=FH 【典型例题】 类型一 正方形中的折叠问题 1.如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E是边CD上一点，连接AE,折叠该纸片，使点A落在AE上的G点，并使折痕经过点B，得到折痕BF，点F在AD上. 若DE=5，则GE的长为 【解析】∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D=∠DAB=90°，AD=AB， 由折叠性质知：AE⊥BF， ∴∠DAE+∠BAE=∠ABF+∠BAE=90°， 即∠DAE=∠ABF， ∴△ADE≌△BAF， ∴AF=DE=5， 由勾股定理得：AE=BF=13， ∴AG=2×=， ∴GE=AE－AG=. 故答案为：. 2.如图，四边形ABCD是正方形，点E在直线BC上，连接AE．将△ABE沿AE所在直线折叠，点B的对应点是点B′，连接AB′并延长交直线DC于点F． 1. 当点F与点C重合时如图（1），易证：DF+BE=AF（不需证明）； 1. （2）当点F在DC的延长线上时如图（2），当点F在CD的延长线上时如图（3），线段DF、BE、AF有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明． 【方法导引】 （1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，再根据四边形ABCD是正方形，易证B'E=B'F，即可证明DF+BE=AF；  （2）图（2）的结论：DF+BE=AF；图（3）的结论：BE﹣DF=AF；证明图（2）：延长CD 到点G，使DG=BE，连接AG，需证△ABE≌△ADG，  根据CB∥AD，得∠AEB=∠EAD，即可得出∠B′AE=∠DAG，则∠GAF=∠DAE，则∠AGD=∠GAF，即可得出答案BE+DF=AF．  【解答】 （1）由折叠可得AB=AB′，BE=B'E，   ∵四边形ABCD是正方形，  ∴AB=DC=DF，∠CB'E=45°，  ∴B'E=B'F，  ∴AF=AB'+B'F，  即DF+BE=AF；   1. 图（2）的结论：DF+BE=AF；  图（3）的结论：BE﹣DF=AF；  图（2）的证明：延长CD到点G，使DG=BE，连接AG，   需证△ABE≌△ADG，  ∵CB∥AD，  ∴ ∠AEB=∠EAD，  ∵∠BAE=∠B'AE， ∴ ∠B'AE=∠DAG， ∴∠GAF=∠DAE， ∴ ∠AGD=∠GAF，  ∴GF=AF，∴BE+DF=AF；  图（3）的证明：在BC上取点M，使BM=DF，连接AM，   需证△ABM≌△ADF， ∴ ∠BAM=∠FAD，AF=AM ∵ ΔABE≌AB'E ∴∠ BAE=∠EAB′，  ∴∠MAE=∠DAE， ∵ AD∥BE， ∴∠AEM=∠DAE， ∴ ∠MAE=∠AEM，  ∴ME=MA=AF， ∴BE﹣DF=AF．  类型二 矩形中的折叠问题 3.将矩形ABCD折叠使A，C重合，折痕交BC于E，交AD于F， （1）求证：四边形AECF为菱形； （2）若AB=4，BC=8，求菱形的边长； （3）在（2）的条件下折痕EF的长． 【解析】（1）证明：由折叠及矩形性质知： OA=OC，EF⊥AC，EA=EC， ∵AD∥BC， ∴∠FAC=∠ECA， 在△AOF和△COE中， ∠FAO=∠ECO，OA=OC，∠AOF=∠COE， ∴△AOF≌△COE ∴OE=OF， ∵OA=OC，AC⊥EF， ∴四边形AECF是菱形； （2）设菱形AECF的边长为x，则BE=8-x，AE=x 在Rt△ABE中，由勾股定理得： (8-x)2=42+x2 解得：x=5， 即菱形的边长为5； （3）在Rt△ABC中，由勾股定理得：AC=， ∴OA=, 在Rt△AOE中，由勾股定理得：OE=， ∴EF=2OE=. 4.已知点P是矩形ABCD边AB上的任意一点（与点A、B不重合）. （1）如图9-1，现将△PBC沿PC翻折得到△PEC；再在AD上取一点F，将△PAF沿PF翻折得到△P