八年级动点专题17：四边形形中动点问题的存在性问题

八年级动点专题17：四边形形中动点问题的存在性问题 【典型例题】 1.如图，在平面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=3，OB=2OA，C为直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=． （1）求点C的坐标； （2）若P为线段AD上一动点（不与A、D重合）．P的横坐标为x，△POD的面积为S，请求出S与x的函数关系式； （3）若F为直线AB上一动点，E为x轴上一点，是否存在以O、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）由题意得：A（3，0），B（0，6）， 设直线AB解析式为：y=kx+b， ∴，解得：， ∴直线AB解析式为：y=-2x+6， 联立：y=-2x+6，y=2x， 解得：， ∴点C坐标为：（，3）. （2）过点D作DG⊥x轴于点G，过点P作PH⊥x轴于点H， 设点D（m，2m） ∵OD=， ∴m2+（2m）2=5 解得：d=1，或d=-1（舍）， ∴D（1，2），DG=2， 可得直线AD的解析式为：y=-x+3， ∵点P在线段AD上，且横坐标为x， ∴OH=x，PH=yP=-x+3， ∴S=S△AOD-S△AOP =OA•DG-OA•PH =OA（DG-PH） =. （3）存在． ①当OD为平行四边形的边时， ∴|yF|=yD=2 即：|-2x+6|=2， 解得：x1=2，x2=4 ∴F（2，2）或（4，-2） ②当OD为平行四边形的对角线时， ∴DF∥x轴，yF=yD=2， ∴F（2，2）， 综上所述，点F的坐标为（2，2）或（4，-2）． 2.如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F （1）求证：EO＝FO； （2）当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论． （3）在第（2）问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，请直接写出凹四边形ABCE的面积为　 ． 【解析】（1）证明：∵EF∥BC， ∴∠OEC＝∠BCE， ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE＝∠OCE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴EO＝CO， 同理：FO＝CO， ∴EO＝FO； （2）解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形； 理由如下： 由（1）得：EO＝FO， ∵O是AC的中点， ∴AO＝CO， ∴四边形CEAF是平行四边形， ∵EO＝FO＝CO， ∴EO＝FO＝AO＝CO， ∴EF＝AC， ∴四边形CEAF是矩形； （3）解：由（2）得：四边形CEAF是矩形， ∴∠AEC＝90°， 由勾股定理得：AC＝＝5， S△ACE＝AE×EC＝×3×4＝6， ∵122+52＝132， 即AB2+AC2＝BC2， ∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∴S△ABC＝AB•AC＝×12×5＝30， ∴S凹四边形ABCE＝S△ABC﹣S△ACE＝30﹣6＝24； 故答案为：24． 3.如图所示，在△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F． （1）求证：OE=OF； （2）若CE=12，CF=5，求OC的长； （3）当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由． 【解析】（1）如图所示. 证明：∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACB的外角， ∴∠2=∠5，∠4=∠6， ∵MN∥BC， ∴∠1=∠5，∠3=∠6， ∴∠1=∠2，∠3=∠4， ∴EO=CO，FO=CO， ∴OE=OF； （2）解：∵∠2=∠5，∠4=∠6，∠2+∠5+∠4+∠6=180° ∴∠2+∠4=∠5+∠6=90°， ∵CE=12，CF=5， ∴在Rt△CEF中，由勾股定理得： ∴EF=13， 又∵O是EF的中点 ∴OC=EF=6.5； （3）解：当点O在边AC上运动到线段AC中点时，四边形AECF是矩形． 证明：当O为AC的中点时，AO=CO， ∵EO=FO， ∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF=90°， ∴平行四边形AECF是矩形． 4.如图,矩形OABC的边OA,OC分别与坐标轴重合,并且点B的坐标为（8，）.将该矩形沿OB折叠,使得点A落在点E处,OE与BC的交点为D. （1）求证:△OBD为等腰三角形; （2）求点E的坐标; （3）坐标平面内是否存在一点F,使得以点B,E,F,O为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点F的坐标;若不存在,请说明理由. 【解析】(1)解：由翻折得：△OBE≌△OBA， ∴∠1=∠2 ∵四边形OABC是矩形 ∴OA∥BC ∴∠1=∠3 ∴OD=BD ∴△OBD为等腰三角形. （2）过点E作EF⊥x轴于F，交BC于G，