八年级动点专题16：三角形中动点问题的存在性问题

八年级动点专题16：三角形中动点问题的存在性问题 【典型例题】 1.在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，将△ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为θ（0°＜θ＜180°），得到△A'B'C． （1）如图1，当AB∥CB'时，设A'B'与CB相交于点D，求证△A'CD是等边三角形； （2）如图2，设AC中点为E，A'B'中点为P，AC＝a，连接EP．在旋转过程中，线段EP的长度是否存在最大值？如果存在，请求出这个最大值并说明此时旋转角θ的度数，如果不存在，请说明理由． （1）证明：∵AB∥CB'， ∴∠BCB'＝∠ABC＝30°， ∵将△ABC绕顶点C顺时针旋转， ∴∠ACA'＝30°． 又∵∠ACB＝90°， ∴∠A'CD＝60°． 又∵∠CA'B'＝∠CAB＝60°， ∴△A'CD是等边三角形． （2）当θ＝120°时，EP的长度最大，EP的最大值为a． 解：如图，连接CP，当△ABC旋转到E、C、P三点共线时，EP最长， 此时θ＝∠ACA′＝120°， ∵∠B′＝30°，∠A′CB′＝90°， ∴A′C＝AC＝A′B′＝a， ∵AC中点为E，A′B′中点为P，∠A′CB′＝90° ∴CP＝A′B′＝a，EC＝a， ∴EP＝EC+CP＝a+a＝a． 2.如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连结AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：AB•r1+AC•r2=AB•h，∴r1+r2=h（定值）． （1）类比与推理 如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点”，即：已知等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，等边△ABC的高为h，试证明r1+r2+r3=h（定值）． （2）理解与应用 △ABC中，∠C=90°，AB=10，AC=8，BC=6，△ABC内部是否存在一点O，点O到各边的距离相等？_____（填“存在”或“不存在”），若存在，请直接写出这个距离r的值，r= _____．若不存在，请说明理由． 解：连接AP，BP，CP.则，即：，∵AB=BC=AC，所以r1+r2+r3=h（定值）． （2）存在；2. （1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连接DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连接AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论． （2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？ （3）深入探究： Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合）连接DC，以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连接AF、BF′，探究AF、BF′与AB有何数量关系？并证明你探究的结论． Ⅱ．如图④，当动点D在等边△边BA的延长线上运动时，其他作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论． 解：（1）AF=BD. 证明如下：∵△ABC是等边三角形（已知）， ∴BC=AC，∠BCA=60°（等边三角形的性质）. 同理知，DC=CF，∠DCF=60°. ∴∠BCA-∠DCA=∠DCF-∠DCA，即∠BCD=∠ACF. 在△BCD和△ACF中， ∴△BCD≌△ACF（SAS）. ∴BD=AF（全等三角形的对应边相等）. （2）证明过程同（1），证得△BCD≌△ACF（SAS），则AF=BD（全等三角形的对应边相等），所以当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其他作法与（1）相同，AF=BD仍然成立. （3）Ⅰ．AF+BF′=AB. 证明如下：由（1）知，△BCD≌△ACF（SAS），则BD=AF； 同理△BCF′≌△ACD，则BF′=AD. ∴AF+BF′=BD+AD=AB； Ⅱ．Ⅰ中的结论不成立．新的结论是AF=AB+BF′. 证明如下：在△BCF′和△ACD中， ∴△BCF′≌△ACD（SAS）. ∴BF′=AD（全等三角形的对应边相等）. 又由（2）知，AF=BD, ∴AF=BD=AB+AD=AB+BF′，即AF=AB+BF′． 3.已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点． （1）问题发现 如图①，若点E、F分别是AB，AC的中点，连接DE，DF，EF，则线段DE与DF的数量关系是　 　，线段DE与DF的位置关系是　 　； （2）拓展探究 如图②，若点E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF，连接DE，DF，EF，上述结论是否依然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； （3）解决问题 当点E，F分别为AB，