八年级动点专题15：动点中的最值问题

八年级动点专题15：动点中的最值问题 【方法导引】 几何图形的长度及面积的最值、最短路径问题的求解动是初中数学阶段的难点。 基本事实： 1. 两点之间，线段最短； 2. 垂线段最短； 3. 若A、B是平面直角坐标系内两定点，P是某直线上一动点，当P、A、B在一条直线上时，最大，最大值为线段AB的长（如下图所示）； 4. 最短路径模型 （1）单动点模型 作图方法：作已知点关于动点所在直线的对称点，连接成线段与动点所在直线的交点即为所求点的位置. 如下图所示，P是x轴上一动点，求PA+PB的最小值的作图. （2）双动点模型 P是∠AOB内一点，M、N分别是边OA、OB上动点，求作△PMN周长最小值. 作图方法：作已知点P关于动点所在直线OA、OB的对称点P’、P’’，连接P’P’’与动点所在直线的交点M、N即为所求. 5.将军饮马基本构图 问题 作法 图形 原理 在直线上求一点，使最短 将对称到，连接，与的交点即为点 两点之间，线段最短 在直线上分别求点，使周长最小 分别将点关于两直线对称到，连接与两直线交点即为 两点之间，线段最短 在直线上分别求点，使四边形周长最小 将分别对称到，连接与直线的交点即为 两点之间，线段最短 在直线上求两点（在左），使得，并使最短 将向右平移个单位到，对称到，连接与交点即为，左平移个单位即为 两点之间，线段最短 在直线上求点，使最大 将点对称到，作直线与的交点即为点 三角形任意两边之差小于第三边 【典型例题】 1.已知点A（1，2）和B（3，5），试分别求出满足下列条件的点的坐标： ⑴在x轴上找一点C，使得AC+BC的值最小； ⑵在y轴上找一点C，使得AC+BC的值最小； ⑶在直线y=x上找一点C，使得AC+BC的值最小； ⑷在y轴、y=x上各找一点M、N，使得AM+MN+NB的值最小． 【解析】 ⑴作A关于x轴的对称点，易知坐标（1，） ∵B（3，5） ∴ ∴ 即 ∴C（，0） ⑵作B关于y轴对称点，易知坐标（，5）， ∵A（1，2） ∴ ∴ ∴C（0，） ⑶作A关于y=x轴的对称点，易知坐标（2，1） ∵B（3，5） ∴ ∴ y=4x-7 ∴C（，） ⑷作A关于y轴的对称点，易知坐标（-1，2）， 作B关于y=x的对称点，易知坐标（5，3）， ∴ ∴ ∴ ∴M（0，） N（，） 2.如图，一副含30°和45°角的三角板和拼合在个平面上，边与重合，．当点从点出发沿方向滑动时，点同时从点出发沿射线方向滑动．当点从点滑动到点时，点运动的路径长为　　　　　；连接，则△的面积最大值为 　　　　　　． 【解析】如图1所示，当E运动至E’，F滑动到F’时， 图1 过D’作D’G⊥AC于G，D’H⊥BC交BC延长线于点H， 可得∠E’D’G=∠F’D’H，D’E’=D’F’， ∴Rt△E’D’G≌Rt△F’D’H， ∴D’G=G’H, ∴D’在∠ACH的角平分线上， 即C，D，D’三点共线. 通过方法导引可知，当D’E’⊥AC时，DD’的长度最大，随后返回初始D点，如图2所示，D点的运动路径为D→D’→D，行走路线长度为2DD’； 图2 ∵∠BAC=30°，AC=12，DE=CD ∴BC=，CD=DE=， 由图3知：四边形E’CF’D’为正方形，CD’=EF=12， ∴DD’=CD’-CD=12-,D点运动路程为2DD’=24-； 图3 如图所示，当点D运动至D’时，△ABD’的面积最大，最大面积为： = = 3.如图，在等边△ABC中，AB＝6cm，动点P从点A出发以lcm/s的速度沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为以t（s）．过点P作PE⊥AC于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE． （1）当t为何值时，△BPQ为直角三角形； （2）是否存在某一时刻t，使点F在∠ABC的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由； （3）求DE的长； （4）取线段BC的中点M，连接PM，将△BPM沿直线PM翻折，得△B′PM，连接AB′，当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值． 【解析】（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝60°， ∴当BQ＝2BP时，∠BPQ＝90°， 即6+t＝2（6﹣t）， 解得：t＝3， 故t＝3时，△BPQ是直角三角形． （2）存在． 理由：如下图，连接BF交AC于M． ∵BF平分∠ABC，BA＝BC， ∴BF⊥AC，AM＝CM＝3cm， ∵EF∥BQ， ∴∠EFM＝∠FBC＝∠ABC＝30°， ∴EF＝2EM， ∴t＝2•（3﹣t）， 解得t＝3． （