八年级动点专题14：三角形动点问题的分类讨论思想

八年级动点专题14：三角形动点中的分类讨论 【方法导引】 因动点产生的线段和差问题、因动点产生的全等三角形问题、因动点产生的等腰三角形等类型题主要是从动点产生的等腰三角形出发，方法导引探究这一点的存在性问题。 【典型例题】 1.如图，在平面直角坐标系中，点，分别在轴和轴上，，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则符合条件的点的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B. 【解析】作线段AB的垂直平分线和坐标轴的交点，得到P5，P4，此时AP=BP； 以A为圆心AB为半径作圆；以B为圆心AB为半径作圆和坐标轴的交点，得到P1、P3、P2、P6、P4 综上所述：符合条件的点P共有6个． 故答案为B． 2.如图，B是直线l上的一点，线段AB与l的夹角为α（0°＜α＜60°），点C在l上，若以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点C共有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D. 【解析】如图所示，满足条件的点共有4个， 故答案为：D. 3.如图，已知，点，在边上，，，点是边上的点，若使点，，构成等腰三角形的点恰好只有一个，则的取值范围是______． 【答案】x=2或x>4. 【解析】①当x=2时，OM=MN=2， 此时MP=PN=MN=2，符合题意的P点只有一个. ②当x=4时， 过M点作MP⊥OB于P点， ∴MP=2=MN， 以P，M，N构成的等腰三角形的点P恰好有2个， 故当x＞4时，等腰三角形恰好只有一个， 故答案为：x=2或x>4． 4. 如图，已知中，厘米，厘米，点为的中点． （1）如果点P在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动． ①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； ②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使与全等？ （2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇？ A Q C D B P 【解析】（1）①∵秒，∴厘米， ∵厘米，点为的中点，∴厘米． 又∵厘米，∴厘米，∴． 又∵，∴，∴． ②∵， ∴， 又∵，，则， ∴点，点运动的时间秒，∴厘米/秒． （2）设经过秒后点与点第一次相遇，由题意，得，解得秒． ∴点共运动了厘米． ∵，∴点、点在边上相遇，∴经过秒点与点第一次在边上相遇． 5.很多三角形过它一个顶点的一条直线，可把它分成两个小等腰三角形．由此，请你探究如下几个问题． （1）如图1，在中，，，，直线交于D，求证：与都为等腰三角形； （2）请你在图2、图3中，分别过一个你认为合适的三角形顶点画出一条直线，把它们各自分成两个小等腰三角形，并在图中标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）； （3）在（1）、（2）中，都是将一个等腰三角形，分成两个小等腰三角形；那么你能把既不是等腰三角形也不是直角三角形的三角形，分成两个小等腰三角形吗？若能，请你设计符合上述条件且6个内角度数均不同的两个三角形，并且分别过一顶点画一直线分成两个小等腰三角形；同时标出所得小等腰三角形两个底角的度数（不证明）；若不能，请说明理由． 【解析】（1）证明：在△ABC中， ∵AB=AC，∴∠ABC=∠C， ∵∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=（180°-∠A）=72°， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠2=∠ABC =36° ∴∠3=∠1+∠A=72°， ∴∠1=∠A，∠3=∠C， ∴AD=BD，BD=BC， ∴△ABD与△BDC都是等腰三角形； （2）解：如下图所示： （3）解：如下图所示： 6.数学课上，潘老师给出如下定义：如果一个三角形有一边上的高线等于这条边的一半，那么称这个三角形为“垂美三角形”这条边称为这个三角形的“垂美边”． 概念理解 （1）如图，已知，，请证明等腰一定是“垂美三角形”； 探索运用 （2）已知等腰是“垂美三角形”，请求出顶角的度数． 【解析】（1）过点A作AD⊥BC， 由题意得：∵AB=AC， ∴AD=BD=CD， ∴AD= BC， ∴等腰Rt△ABC一定是“垂美三角形”； （2）①当底边上的高等于底边的一半时， AB=AC，过点A作AH⊥BC， 则AH= BC=BH=HC， 则∠B=∠BAH=∠CAH=∠C=α， ∵∠B+∠BAH+∠CAH+∠C=4α=180°， ∴α=45°， ∴顶角∠BAC=90°； ②当腰上的高等于腰的一半时， 当等腰三角形ABC是锐角三角形时， 过点C作CF⊥AB， 设CF=AB= AC， ∴∠A=30°； 当△ABC为钝角三角形时， 同理可得：∠BAC=150°； 故顶角为30°或90°或150°. 【素养提升】1.如图