八年级动点专题12：特殊四边形中的动点问题

八年级动点专题12：特殊四边形中的动点问题 【典型例题】 1.【操作发现】 如图①，在正方形ABCD中，点N、M分别在边BC、CD上，连结AM、AN、MN．∠MAN＝45°，将△AMD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE．易证：△ANM≌△ANE，从而得DM+BN＝MN． 【实践探究】 （1）在图①条件下，若CN＝3，CM＝4，则正方形ABCD的边长是　 　． （2）如图②，点M、N分别在边CD、AB上，且BN＝DM．点E、F分别在BM、DN上，∠EAF＝45°，连接EF，猜想三条线段EF、BE、DF之间满足的数量关系，并说明理由． 【拓展】 （3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点M、N分别在边DC、BC上，连结AM，AN，已知∠MAN＝45°，BN＝1，求DM的长． 【实践探究】 【解析】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CD＝AD，∠BAD＝∠C＝∠D＝90°， 由旋转得：△ABE≌△ADM， ∴BE＝DM，∠ABE＝∠D＝90°，AE＝AM，∠BAE＝∠DAM， ∴∠BAE+∠BAM＝∠DAM+∠BAM＝∠BAD＝90°， 即∠EAM＝90°， ∵∠MAN＝45°， ∴∠EAN＝90°﹣45°＝45°， ∴∠MAN＝∠EAN， 在△AMN和△EAN中， ， ∴△AMN≌△EAN（SAS）， ∴MN＝EN． ∵EN＝BE+BN＝DM+BN， ∴MN＝BN+DM． 在Rt△CMN中，MN＝＝＝5， 则BN+DM＝5， 设正方形ABCD的边长为x，则BN＝BC﹣CN＝x﹣3，DM＝CD﹣CM＝x﹣4， ∴x﹣3+x﹣4＝5， 解得：x＝6， 即正方形ABCD的边长是6； 故答案为：6； （2）EF2＝BE2+DF2， 理由如下：如图②，将△AFD绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABH，连结EH， ∴∠ADF＝∠ABH，DF＝BH，∠DAF＝∠BAH，AH＝AF， ∵∠EAF＝45°， ∴∠DAF+∠BAE＝45°＝∠BAH+∠BAE， ∴∠HAE＝45°＝∠EAF， 又∵AH＝AF，AE＝AE， ∴△EAH≌△EAF（SAS）， ∴HE＝EF， ∵BN＝DM，BN∥DM， ∴四边形BMDN是平行四边形， ∴DN∥BM， ∴∠AND＝∠ABM， ∵∠ADN+∠AND＝90°， ∴∠ABH+∠ABM＝90°＝∠HBM， ∴BE2+BH2＝HE2， ∴EF2＝BE2+DF2； （3）如图③，延长AB至P，使BP＝BN＝1，过P作BC的平行线交DC的延长线于Q，延长AN交PQ于E，连接EM， 则四边形APQD是正方形， ∴PQ＝DQ＝AP＝AB+BP＝4， 设DM＝x，则MQ＝4﹣x， ∵PQ∥BC， ∴△ABN∽△APE， ∴， ∴PE＝BN＝， ∴EQ＝PQ﹣PE＝4﹣＝， 由（1）得：EM＝PE+DM＝+x， 在Rt△QEM中，由勾股定理得：（）2+（4﹣x）2＝（+x）2， 解得：x＝2， 即DM的长是2． 2、如图，在矩形ABCD中，点P为BC边上一点（BP＞CP），∠APD＝90⁰，将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D，PC′的延长线交AD于点M，过点A作AN∥PM交BC于点N． （1）试判断四边形AMPN的形状并说明理由； （2）如图2，连接BD，分别交MP，AP于点E，F，若tan∠PDC＝，求的值． 【解析】（1）四边形AMPN是菱形； 理由：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC， ∴AM∥PN， ∵AN∥PM， ∴四边形ANPM是平行四边形， ∵将△PCD沿PD翻折，得到△PC′D， ∴∠DPC＝∠DPC′， ∵AD∥BC， ∴∠ADP＝∠DPC， ∴∠ADP＝∠DPM，∴DM＝PM， ∵∠APD＝90°， ∴AM＝DM＝PM， ∴四边形AMPN是菱形； （2）∵tan∠PDC＝＝， 可设PC＝1，CD＝2， 过P作PG⊥AD于G， 则四边形PCDG与四边形ABPG是矩形， ∴CP＝DG＝1，PG＝CD＝2， ∵PG⊥AD，∠APD＝90°， ∴PG2＝AG•GD， ∴4＝1•GD， ∴AG＝PB＝4， AD＝AG+GD＝5， ∵BP∥AD， ∴△PBF∽△ADF， ∴＝＝， ∴＝， ∵DM∥PB， ∴△PBE∽△MDE，DM＝AD＝， ∴＝＝＝， ∴＝， ∴EF＝DF﹣DE＝BD﹣BD＝BD， ∴＝＝ 【素养提升】 1.如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上任意一点（点E不与点B、C重合），连结DE，点C关于DE的对称点为C1，连结AC1并延长交DE的延长线于点M，F是AC1的中点，连结DF． 【猜想】如图①，∠FDM的大小为　 　度． 【探究】如图②，过点A作AM1∥DF交MD的延长线于点M1，连结BM． 求证：△ABM≌△ADM1． 【拓