八年级动点专题11：平行四边形中的动点问题

八年级动点专题11：平行四边形中的动点问题 【方法导引】 四边形中的动点问题是一类非常重要的问题，它将三角形和平行四边形、矩形、菱形、正方形结合在一起进行考察。 解题思路导引“ 1、设出未知数 动点问题一般都是求点的运动时间，通常设运动时间为t 2、动点的运动路径就是线段长度 题目通常会给动点的运动速度例如每秒两个单位，那么运动路程就是2t个单位。而2t也就是这个点所运动的线段长。进而能表示其他相关线段的长度。 所以我们在做动点问题的时候，第一步就是把图形中的线段都用含t的代数式来表示。 3、 方程思想求出时间 动点问题通常都是用方程来解决，根据题目找到线段之间的等量关系，然后用含有t的代数式表示出来，列出方程求解出t的值。 4、难点是找等量关系 这种题的难点是找到等量关系。这个等量关系往往不是题目中用语言叙述出来的，而是同学们根据题型自己挖掘出来的等量关系，所以对同学们图形分解的能力以及灵活运用知识的能力要求非常高。 5、注意分类讨论 因为点的运动的位置不同，形成的图形就不同，符合结论的情况可能就不止一种，所以做动点问题要注意分类讨论。 【典型例题】 1、如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm． （1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形； （2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形； （3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． A B D C P Q M N 【解析】（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时，以PQ，MN为两边，以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点P与点N重合时， （舍去）． 因为BQ+CM=，此时点Q与点M不重合．所以符合题意． ②当点Q与点M重合时， ．此时，不符合题意．故点Q与点M不能重合． 所以所求x的值为． （2）由（1）知，点Q 只能在点M的左侧， ①当点P在点N的左侧时，由，解得． 当x=2时四边形PQMN是平行四边形． ②当点P在点N的右侧时，由， 解得． 当x=4时四边形NQMP是平行四边形．所以当时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形． （3）过点Q，M分别作AD的垂线，垂足分别为点E，F．由于2x>x，所以点E一定在点P的左侧． 若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形， 则点F一定在点N的右侧，且PE=NF， 即．解得． 由于当x=4时， 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形，所以,以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形 2.已知：如图，正方形ABCD的边长为4，动点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿AB-BC-CD方向运动，到达点D时停止运动．连接AP，DP．设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，△ADP的面积为6． 【方法导引】 1．研究图形基本模型，图上标注 四边形ABCD是边长为4的正方形，四条边都相等，四个角均为90°． 2．分析运动过程，分段 ①分析运动过程：动点P的起点、终点、状态转折点，以及对应的时间范围． ②根据状态转折点分为三段：，，，需要对每一段分别进行分析． 3．表达线段长，建等式，分类讨论 ①当时，即点P在线段AB上， 此时AP=2t，AD=4， ， 即， ，符合题意． ②当时，即点P在线段BC上， 此时， 不符合题意，舍去． ③当时，即点P在线段CD上， 此时DP=12-2t，AD=4， ， 即， ，符合题意． 综上，当t的值为或时，△ADP的面积为6． 3.如图6-1，在矩形ABCD中，AB＝30 cm，BC＝10 cm，点P从A开始沿折线A－B－C－D以6 cm/s的速度移动，点Q从点C开始沿折线C－D－B以6 cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t(s)．当t为何值时，以Q、P、B、C为顶点的四边形是矩形？ 图6-1 【解析】依据点P、Q所在不同位置分类讨论： ①如图6-2所示，点P在线段AB上，点Q在线段CD上时， 图6-2 根据题意得：CQ=6t，AP=6t，则BP=30－6t， ∵四边形ABCD是矩形 ∴∠B=∠C=90°，CD∥AB， ∴只有CQ=BP时四边形QPBC是矩形， 即6t=30－6t 解得：t= 即当t=时，四边形QPBC是矩形． ②如图6-3所示，点P在线段CD上，点Q在线段AB上时， 图6-3 根据题意得：BQ=70－6t，CP=6