八年级动点专题10：勾股定理中的动点问题

八年级动点专题10：勾股定理中的动点问题 【典型例题】 1.探究：如图①，是等腰直角三角形，，．点在边上（不与重合），连结，过点作，且，连结、． 求证：≌． 应用：如图②，在图①的基础上，点在的延长线上，其他条件不变．若，，求的长． （图①） 【解析】 探究：如图①，∵，， ． ． ∵，， ∴≌． 应用：如图②， ∵，，∴， ∵， ∴，． ∵≌，∴． ． ． ∴． 2.如图所示，已知中，，，，、是的边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为． （1）则____________； （2）当为何值时，点在边的垂直平分线上？此时_________? （3）当点在边上运动时，直接写出使成为等腰三角形的运动时间． 【方法导引】 （1）由勾股定理即可得出结论； （2）由线段垂直平分线的性质得到PC= PA=t，则PB=16-t．在Rt△BPC中，由勾股定理可求得t的值，判断出此时，点Q在边AC上，根据CQ=2t-BC计算即可； （3）用t分别表示出BQ和CQ，利用等腰三角形的性质可分BQ=BC、CQ=BC和BQ=CQ三种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【解析】 （1）在Rt△ABC中，BC(cm)． 故答案为：12； （2）如图，点P在边AC的垂直平分线上时，连接PC， ∴PC= PA=t，PB=16-t． 在Rt△BPC中，，即， 解得：t=． ∵Q从B到C所需的时间为12÷2=6(s)，＞6， ∴此时，点Q在边AC上，CQ=(cm)； （3）分三种情况讨论： ①当CQ=BQ时，如图1所示， 则∠C=∠CBQ． ∵∠ABC=90°， ∴∠CBQ+∠ABQ=90°，∠A+∠C=90°， ∴∠A=∠ABQ， ∴BQ=AQ， ∴CQ=AQ=10， ∴BC+CQ=22， ∴t=22÷2=11(s)． ②当CQ=BC时，如图2所示， 则BC+CQ=24， ∴t=24÷2=12(s)． ③当BC=BQ时，如图3所示， 过B点作BE⊥AC于点E， 则BE， ∴CE=7.2． ∵BC=BQ，BE⊥CQ， ∴CQ=2CE=14.4， ∴BC+CQ=26.4， ∴t=26.4÷2=13.2(s)． 综上所述：当t为11s或12s或13.2s时，△BCQ为等腰三角形． 3．如图1，Rt△ABC中，AC⊥CB，AC=3，AB=5，点D为斜边上的动点． （1）如图2，过点D作DE⊥AB交CB于点E，连接AE，当AE平分∠CAB时，求CE； （2）如图3，在点D的运动过程中，连接CD，若△ACD为等腰三角形，求AD． 图1 图2 图3 【解析】（1）因为AC⊥CB，AC=3，AB=5 在Rt△ABC中，根据勾股定理得：BC=4. ∵AE平分∠CAB，DE⊥AB，AC⊥CB, ∴DE=CE. 在Rt△AED和Rt△ACE中， ∵DE=CE，AE=AE, ∴Rt△AED≌Rt△ACE. ∴AD=AC=3. ∴BD=AB－AD=2. 设CE=DE=x，则BE=4－x 在Rt△BDE中，由勾股定理得： . 解得：x=1.5. 即CE=1.5. （2）分类讨论 图4 图5 图6 ①AC为底时，如图4所示. 此时AD=CD ∴∠A=∠DCA ∵∠A+∠B=90°，∠DCA+∠BCD=90° ∴∠B=∠BCD ∴BD=CD 即AD=BD=2.5. ②AC为腰时，如图5、图6所示. 图3-5中，AC=CD，过点C作CE⊥AB于点E. 易知AD=2AE. . 在Rt△ACE中，由勾股定理得： . 所以AD=2AE=3.6. 图6中，AC=AD=3。 综上所述，AD的长为2.5，3.6，3. 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点O为AB中点，点P为直线BC上的动点(不与点B、点C重合)，连接OC、OP，将线段OP绕点P逆时针旋转60°，得到线段PQ，连接BQ. (1)如图①，当点P在线段BC上时，请直接写出线段BQ与CP的数量关系； (2)如图②，当点