八年级动点专题4：三角形中的折叠类动点问题

八年级动点专题4：三角形中的折叠类动点问题 本专题将八年级所遇到的折叠类动点问题进行梳理，体现其解题核心思想——动中求静，寻求运动中的不变量，灵活运用相关数学知识进行解答. 1. 如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B= . 【方法导引】由题意知，△CDF是等腰三角形，则CD=CF， △BDE是等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当DE=BD时，设∠B=x°，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=45； ②当BD=BE时，作出图形，设∠B=x°，通过翻折性质及三角形内角和定理求得x=30； ③当BE=DE时，得∠FDB=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在. 【解析】由题意知，△CDF是等腰三角形，则CD=CF，∠CDF=∠CFD=45°， ∴∠FDB=135°， △BDE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论： ①当DE=BD时，见下图 设∠B=x°， 则∠DEB=x，∠EDB=180°－2x， 由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x， ∴180－2x+90－x =135，解得：x=45， 即∠B=45°； ②当BD=BE时，如下图所示， 设∠B=x°， 则∠EDB= ， 由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x， ∴+90－x =135，解得：x=30， 即∠B=30°； ③当BE=DE时，得∠B=∠EDB， ∴∠FDB=∠FDE+∠EDB=∠A+∠B=90°，∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在. 故答案为：45°或30°. 2.小王剪了两张直角三角形纸片，进行了如下的操作： 操作一：如图7-1将Rt△ABC沿某条直线折叠，使斜边的两个端点A与B重合， 折痕为DE． 图7-1 （1）如果AC＝6cm，BC＝8cm，可求得△ACD的周长为 ； （2）如果∠CAD:∠BAD=4:7，可求得∠B的度数为 ； 操作二：如图7-2，小王拿出另一张Rt△ABC纸片，将直角边AC沿直线AD折叠， 图7-2 使它落在斜边AB上，且与AE重合. （3）若AC＝9cm，BC＝12cm，请求出CD的长． 【解析】（1）由折叠性质知：BD=AD，故△ACD的周长等于AC+BC=14cm；（2）略. （3）由折叠知：AE=AC=9，DE⊥AB， 设CD=DE=x， 则BD=12-x， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：AB=15, ∴BE=15-9=6， 在Rt△BDE中，由勾股定理得： （12-x）2=x2+36， 解得：x=4.5， 即CD=4.5 cm. 3、数学活动：在综合与实践活动课上，老师让同学们以“三角形纸片的折叠、旋转”为主题开展数学活动，探究线段长度的有关问题. 动手操作：如图 1，在直角三角形纸片 ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8.将三角形纸片ABC 进行以下操作： 第一步：折叠三角形纸片 ABC 使点 C 与点 A 重合，然后展开铺平，得到折痕 DE； 第二步：将△ABC 沿折痕 DE 展开，然后将△DEC 绕点 D 逆时针方向旋转得到△DFG，点 E，C 的对应点分别是点 F，G，射线 GF 与边 AC 交于点 M(点 M 不与点 A 重合)，与边 AB交于点 N，线段 DG 与边 AC 交于点 P. 数学思考： （1）求 DC 的长； （2）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，试判断 MF 与 ME 的数量关系，并证明你的结论； 问题解决： （3）在△DEC 绕点 D 旋转的过程中，探究 下列问题： ① 如图 2，当 GF∥BC 时，求 AM 的长； ② 如图 3，当 GF 经过点 B 时，AM 的长为 ③ 当△DEC 绕点 D 旋转至 DE 平分∠FDG 的位置时，试在图 4 中作出此时的△DFG 和射线 GF，并直接写出 AM 的长（要求：尺规作图 ，不写作法，保留 作图痕迹，标记出所有相应的字母） 【答案】(1) DC＝5;(2)相等，理由见解析；（3）①AM＝3；②AM＝；③AM＝10 3 【方法导引】 （1）理由勾股定理求出BC即可解决问题． （2）结论：MF=ME．证明Rt△DMF≌Rt△DME（HL），即可解决问题． （3）①如图2中，作AH⊥BC于H，交FG于K．由KM∥CH，推出 ，求出AK，AH即可解决问题． ②证明BM=MC，设BM=MC=x，在Rt△ABM中，根据BM2=AB2+AM2，构建方程即可解决问题． ③尺规作图如图4-1所示．作DR平分∠CDF，在DR上截取DG=DC，分别