第7讲 无理方程(讲义）-【教育机构专用】2020-2021学年八年级数学寒假辅导讲义（沪教版）

第7讲 无理方程 模块一：无理方程的概念和解法 知识精讲 1．无理方程的概念 方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程． 2．解无理方程的方法 通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解． 3．解无理方程的一般步骤 （1）方程两边平方，化成整式方程； （2）解这个整式方程，求出整式方程的根； （3）检验．直接代入原方程中，看其是否成立．如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解． 例题解析 例1.下列方程是哪些是关于的无理方程? （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6）． 【难度】★ 【答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是无理方程． 【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方 程叫做无理方程，可知（1）、（2）、（4）、（6）都是无理方程，，可知（3）也 是无理方程． 【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可． 例2.下列哪个方程有实数解（ ） A． B． C． D． 【难度】★ 【答案】D 【解析】根据二次根式的双重非负性，对A选项，，此时，故方程 无实数解；对B选项，，可知方程无实数解；对C选项，， 无解，即方程无实数解；故选D． 【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行简单判定． 例3.若方程有解，则的取值范围是________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】移项得，方程有解，根据二次根式的非负性，可得，得． 【总结】考查无理方程有解的应用，根据二次根式的非负性即可进行判断． 例4.不解方程，说明下列方程是否有实数根： （1）； （2）． 【难度】★ 【答案】（1）有唯一实数根； （2）当时，方程无实数根；当时，方程有无数个实数根． 【解析】（1）根据二次根式的非负性，可得：，即得的定义域为， 此时，即得方程有唯一实数根； （2） 当时，则有，根据二次根式非负性，可知方程无实数根； 当时，等式恒成立，可知方程有无数实数根，满足即可． 【总结】考查对无理方程解的判断，对部分方程根据二次根式双重非负性即可进行判定． 例5.用换元法解方程时，设．则该方程转换整式方程是____________． 【难度】★ 【答案】． 【解析】由，可得，原方程即为， 整理即为． 【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式形式． 例6.解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）两边平方，得：，整理得：， 解得：，，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2） 移项得：，两边平方得：， 因式分解整理得：，解得：，， 经检验，是原方程的增根，即原方程的根为． 【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验． 例7.解下列方程： （1）； （2）； 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）两边平方，得：，整理得：， 解得：，，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2）由原式得：或，解得：，， 经检验，是原方程的增根，即原方程的根为． 【总结】考查无理方程的解法，注意无理方程的验根． 例8.解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）两边平方得：，整理得：， 配方法解得：，， 经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2）移项得，两边平方得，整理得， 解得：，，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为． 【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验． 例9.解方程：． 【难度】★★ 【答案】，． 【解析】令，则，原方程即为，解得：，， 则有或，解得：，， 经检验，，都是原方程的根． 【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察无理方程含未知数的根式之间的联系． 例10.解方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1），；（2），． 【解析】（1）令，得，原方程即， 整理得，解得：（舍），， 令，平方整理得，解得：，， 经检验，，都是原方程的根； （2）令，得，原方程即， 整理得，解得：（舍），， 令，平方整理得，解得：，， 经检验，，都是原方程的根． 【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据元的取值范围舍去增根． 例11.解下列方程： （1）； （2）． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）移项得，两边平方得， 移项得，两边平方得，解得：， 经检验，是原方程的根； （2）两边平方得，移项得， 两边平方整理得，配方法解得：，， 经检验，是原方程的增根，即原方程的根是． 【总结】考查含