1.4.2 用空间向量研究距离、夹角问题-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版选修第一册）

1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.会用向量法求线线、线面、面面的夹角以及距离问题 2.正确区分向量夹角与所求线线角、面面角的关系 【自主学习】 知识点一 空间角的向量求法 角的分类 向量求法 范围 两异面直线l1与l2所成的角为θ 设l1与l2的方向向量分别为u，v， 则cosθ＝ ＝ 直线l与平面α所成的角为θ 设l的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝ ＝ 平面α与平面β的夹角为θ 设平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝ ＝ 知识点二 空间距离的向量求法 分类 向量求法 两点距 设A、B为空间中的任意两点，则d＝ 点线距 设直线l的单位方向向量为u，Al，Pl，设＝a，则点P到直线l的距离d＝ 点面距 已知平面α的法向量为n，Aα，Pα， 则点P到平面α的距离为d＝ 【合作探究】 探究一 距离问题 【例1】如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，AB＝2.求点A到平面MBC的距离． 归纳总结： 【练习1】在长方体OABC­O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直线AC的距离． 探究二 求两条异面直线所成的角 【例2】如图，在三棱柱OAB­O1A1B1中，平面OBB1O1⊥平面OAB，∠O1OB＝60°，∠AOB＝90°，且OB＝OO1＝2，OA＝，求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值的大小． 归纳总结： 【练习2】如图，在三棱锥V­ABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，∠VDC＝，求异面直线AC与VD所成角的余弦值． 探究三 直线与平面所成的角 【例3】如图，已知三棱柱ABC­A1B1C1，平面A1ACC1⊥平面ABC，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，A1A＝A1C＝AC，E，F分别是AC，A1B1的中点． (1)证明：EF⊥BC； (2)求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值． 归纳总结： 【练习3】如图，在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB＝AA1＝2，点P，Q分别为A1B1，BC的中点． (1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值； (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值． 探究四 平面与平面的夹角 【例4】如图，四棱柱ABCD­A1B1C1D1的所有棱长都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形． (1)证明：O1O⊥底面ABCD； (2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1与平面DOB1的夹角的余弦值． 归纳总结： 【练习4】如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD⊥CD，AD∥BC，PA＝AD＝CD＝2，BC＝3.E为PD的中点，点F在PC上，且＝. (1)求证：CD⊥平面PAD； (2)求二面角F­AE­P的余弦值． 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1.如图，在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值为(　　) A．　　B．　　C．　　D． 2．在空间直角坐标系中有长方体ABCD­A1B1C1D1，AB＝1，BC＝2，AA1＝3，则点B到直线A1C的距离为(　　) A． B． C． D．1 3．已知长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝3，E为线段AB上一点，且AE＝AB，则DC1与平面D1EC所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 4．如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为(　　) A． B． C． D． 5.如图所示，已知四棱锥P­ABCD中，底面ABCD是菱形，且PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝AC，点F为PC的中点，则二面角C­BF­D的正切值为(　　) A． B． C． D． 二、填空题 6．若直线l的方向向量a＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n＝(4,0,1)，则直线l与平面α所成角的正弦值为________． 7．在空间直角坐标系中，定义：平面α的一般方程为Ax＋By＋Cz＋D＝0(A，B，C，D∈R，且A，B，C不同时为零)，点P(x0，y0，z0)到平面α的距离d＝，则在底面边长与高都为2的正四棱锥