1.4.1.1 空间向量与平行关系-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版选修第一册）

1.4.1.1空间向量与平行关系 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.了解空间中点、直线和平面的向量表示 2.掌握直线的方向向量，平面的法向量的概念及求法 3.熟练掌握用方向向量，法向量证明线线、线面、面面间的平行关系 【自主学习】 知识点一 空间中点、直线和平面的向量表示 点P的位置向量 在空间中，取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P可以用 向量 表示，我们把向量 称为点P的位置向量. 空间直线的向量表示式 a是直线l的方向向量，在直线l上取＝a，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使＝ ，也可以表示为＝ .这两个式子称为空间直线的向量表示式. 空间平面ABC的向量表示式 设两条直线相交于点O，它们的方向向量分别为a和b，P为平面内任意一点，则存在唯一的有序实数对(x，y)，使得＝ .那么取定空间任意一点O，可以得到，空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝ ，这就是空间平面ABC的向量表示式. 知识点二 直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线_ 的非零向量，一条直线的方向向量有 个． (2)平面的法向量的定义 直线l⊥α，取直线l的 a，则向量a叫做平面α的法向量． 知识点三 间中平行关系的向量表示 线线平行 设两条不重合的直线l1，l2的方向向量分别为u1＝(a1，b1，c1)， u2＝(a2，b2，c2)，则l1∥l2⇔ ⇔ ＝ 线面平行 设l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，α的法向量为 n＝(a2，b2，c2)，则l∥α⇔ ⇔ 面面平行 设α，β的法向量分别为n1＝(a1，b1，c1)，n2＝(a2，b2，c2)， 则α∥β⇔ ⇔ ＝ 【合作探究】 探究一 求平面的法向量 【例1】四边形ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2， AD＝1.在如图所示的坐标系A­xyz中，分别求平面SCD和平面SAB的一个法向量． 归纳总结： 【练习1】已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量． 探究二 利用空间向量证明线线平行 【例2】(1)已知a＝(λ＋1,0,2)，b＝(6,2μ－1,2λ)，若a∥b，则λ与μ的值可以是(　　) A．2， B．， C．－3,2 D．2,2 (2)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝3，AA1＝2，P，Q，R，S分别是AA1，D1C1，AB，CC1的中点． 求证：PQ∥RS. 归纳总结： 【练习2】如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形． 探究三 利用空间向量证线面、面面平行 【例3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点． 求证：MN∥平面A1BD. 归纳总结： 【练习3】在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是CC1，B1C1的中点． 证明平面A1BD∥平面CB1D1 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，则能使l∥α的是(　　) A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1) 2．已知平面α和平面β的法向量分别为m＝(3,1，－5)，n＝(－6，－2,10)，则(　　) A．α⊥β B．α∥β C．α与β相交但不垂直 D．以上都不对 3．平面α的法向量u＝(x,1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝(　　) A． B． C．3 D． 4．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　) A． B． C． D． 5.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，以D为原点建立空间直角坐标系，E为BB1的中点，F为A1D1的中点，则下列向量中，能作为平面AEF的法向量的是(　　) A．(1，－2,4) B．(－4,1，－2) C．(2，－2,1) D．(1,2，－2) 二、填空题 6．若直线l的方向向量为a＝(1，－2,3)，平面α的法向量为n＝(2，x,0)，若l∥α，则x的值等于________． 7．已知＝(2,2