1.3.2 空间向量运算的坐标表示-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版选修第一册）

1.3.2空间向量运算的坐标表示 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.掌握空间向量运算的坐标表示，并会判断两个向量是否共线或垂直 2.掌握空间向量的模，夹角公式和两点间距离公式，并能运用这些公式解决简单几何体中的问题 【自主学习】 知识点一 空间向量运算的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，空间向量的坐标运算法则如下表所示： 运算 坐标表示 加法 a＋b＝ . 减法 a－b＝ . 数乘 λa＝ . 数量积 a·b＝ . 知识点二 空间向量的平行、垂直、模与夹角公式的坐标表示 设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，则 平行(a∥b) a∥b(b≠0)⇔a＝λb⇔ 垂直(a⊥b) a⊥b⇔a·b＝0⇔ (a，b均为非零向量) 模 |a|＝＝ 夹角公式 cos〈a，b〉＝＝ 知识点三 向量的坐标及两点间的距离公式 在空间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则 (1)＝ ； (2)dAB＝||＝ . 【合作探究】 探究一 空间向量的坐标运算 【例1】(1)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·2b＝－2，则x＝________. (2)已知a＝(2，－1，－2)，b＝(0，－1,4)， 求a＋b， a－b， a·b， (2a)·(－b)， (a＋b)·(a－b)． 归纳总结： 【练习1】(1)已知向量a＝(1,2,3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7， 则a与c的夹角为________． (2)已知M(1,2,3)，N(2,3,4)，P(－1,2，－3)，若||＝3||且∥，则Q点的坐标为(　　) A．(2,5,0) B．(－4，－1，－6)或(2,5,0) C．(3,4,1) D．(3,4,1)或(－3，－2，－5) 探究二 空间向量的平行与垂直 【例2】(1)对于空间向量a＝(1,2,3)，b＝(λ，4,6)．若a∥b，则实数λ＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)正方体ABCD­A1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1，BD上的点， 且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 归纳总结： 【练习2】已知a＝(λ＋1,1,2λ)，b＝(6,2m－1,2)． (1)若a∥b，分别求λ与m的值； (2)若|a|＝，且与c＝(2，－2λ，－λ)垂直，求a. 探究三 空间向量的夹角与长度问题 【例3】如图所示，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别为A1B1，A1A的中点． (1)求BN的长； (2)求A1B与B1C所成角的余弦值； (3)求证：BN⊥平面C1MN. 归纳总结： 【练习3】在棱长为1的正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，G在棱CD上，CG＝CD，H是C1G的中点． (1)求证：EF⊥B1C； (2)求EF与C1G所成角的余弦值； (3)求FH的长． 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．已知三点A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(a,3，b＋2)在同一条直线上，那么(　　) A．a＝3，b＝－3　　 B．a＝6，b＝－1 C．a＝3，b＝2 D．a＝－2，b＝1 2．已知a＝(2,3，－4)，b＝(－4，－3，－2)，b＝x－2a，则x等于(　　) A．(0,3，－6) B．(0,6，－20) C．(0,6，－6) D．(6,6，－6) 3．已知向量a＝(1,0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　) A．(－1,1,0) B．(1，－1,0) C．(0，－1,1) D．(－1,0,1) 4．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为(　　) A．－2 B．2 C．3 D．－3 5．已知A、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3)，B(2，－5，1)，C(3，7，λ)，若⊥，则λ等于(　　) A．28 B．－28 C．14 D．－14 二、填空题 6．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________. 7．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是______