1.2 空间向量基本定理-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版选修第一册）

1.2空间向量基本定理 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.了解空间向量基本定理及其意义 2.掌握空间向量的正交分解 3.掌握在简单问题中运用空间三个不共面的向量作为基底表示其他向量的方法 【自主学习】 知识点一 空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p， 存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝ . 其中{a，b，c}叫做空间的一个 ，a，b，c都叫做基向量． 空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底． 知识点二 正交分解 (1)单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量 ，且长度都是1， 那么这个基底叫做单位正交基底．常用{i，j，k}表示． (2)正交分解 把一个空间向量分解为三个 的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【合作探究】 探究一 基底的判断 【例1】(1)设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组：①{a，b，x}，②{x，y，z}，③{b，c，z}，④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间一个基底的向量组有(　　) A．1个　　　　B．2个　　　　C．3个　　　　D．4个 (2)已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底． 归纳总结： 【练习1】设向量{a，b，c}是空间一个基底，则一定可以与向量p＝a＋b，q＝a－b，构成空间的另一个基底的向量是(　　) A．a B．b C．c D．a或b 探究二 用基底表示向量 【例2】如图，四棱锥P­OABC的底面为一矩形，PO⊥平面OABC，设＝a，＝b，＝c，E，F分别是PC，PB的中点，试用a，b，c表示：，，，. 归纳总结： 【练习2】点P是矩形ABCD所在平面外一点，且PA⊥平面ABCD，M，N分别是PC，PD上的点，且＝，＝，则满足＝x＋y＋z的实数x，y，z的值分别为(　　) A．－，，　 B．，－， C．－，，－ D．－，－， 探究三 正交分解在立体几何中的应用 【例3】如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，求异面直线BD1和AC所成角的余弦值． 归纳总结： 【练习3】如图，已知平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA1长为b，且∠A1AB＝∠A1AD＝120°，证明BD⊥面AA1C1C． 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．若向量{a，b，c}是空间的一个基底，则一定可以与向量p＝2a＋b，q＝2a－b构成空间的另一个基底的向量是(　　) A．a B．b C．c D．a＋b 2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，M是上底面对角线AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c，则可表示为(　　) A．a＋b＋c B．a－b＋c C．－a－b＋c D．－a＋b＋c 3．若向量，，的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量，，成为空间一个基底的关系是(　　) A．＝＋＋ B．≠＋ C．＝＋＋ D．＝2－ 4．空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且＝2，N为BC中点，则为(　　) A．a－b＋c B．－a＋b＋c C．a＋b－c D．a＋b－c 5．平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量，，两两的夹角均为60°且||＝1，||＝2，||＝3，则||等于(　　) A．5 B．6 C．4 D．8 二、填空题 6．在四面体OABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点， 则＝________.(用a，b，c表示) 7．已知{a，b，c}是空间的一个单位正交基底，{a＋b，a－b，c}是空间的另一个基底，若向量m在基底{a，b，c}下表示为m＝3a＋5b＋9c，则m在基底{a＋b，a－b,3c}下可表示为________． 8．在四棱锥P­ABCD中，ABCD为平行四边形，AC与BD交于O，G为BD上一点，BG＝2GD，＝a，＝b，＝c，试用基底{a，b，c}表示向量＝________. 9．若{a，b，c}是空间的一个基底，且存在实数x，y，z，使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________． 10．正方体ABCD­A1B1C1D1中，取{，，}为基底，若G为面BCC1B1的中心，且＝x＋y＋z，则x＋y＋z＝________. 三、解答题 1