1.1.2 空间向量的数量积运算-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版选修第一册）

1.1.2空间向量的数量积运算 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法 2.掌握空间向量的数量积的定义、性质、运算律及计算方法 3.掌握投影向量的概念 4.能用向量的数量积解决立体几何问题 【自主学习】 知识点一 空间向量的夹角 (1)夹角的定义 已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫做向量a，b的夹角，记作 ． (2)夹角的范围 空间任意两个向量的夹角θ的取值范围是[0，π]． 特别地，当θ＝0时，两向量同向共线； 当θ＝π时，两向量反向共线，所以若a∥b，则〈a，b〉＝0或π； 当〈a，b〉＝时，两向量 ，记作 . 知识点二 空间向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a，b，则 .叫做a，b的数量积，记作a·b.即a·b＝ ． 规定：零向量与任何向量的数量积为0. (2)常用结论(a，b为非零向量) ①a⊥b⇔ .. ②a·a＝ .＝ . ③cos〈a，b〉＝ . (3)数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (λa)·b＝λ ＝a· . 交换律 a·b＝b·a 分配律 a·(b＋c)＝ . 知识点三 投影向量 (1)投影向量 在空间，向量a向向量b投影，可以先将它们平移到同一个平面内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量c，c＝ .，则向量c称为向量a在向量b上的投影向量，同理向量b在向量a上的投影向量是 .. (2)向量a在平面β上的投影向量 向量a向平面β投影，就是分别由向量a的起点A和终点B作平面β的垂线，垂足分别为A′，B′，得到向量，则 .称为向量a在平面β上的投影向量．这时， .的夹角就是向量a所在直线与平面β所成的角． 【合作探究】 探究一 空间向量数量积的运算 【例1】(1)如图，三棱锥A­BCD中，AB＝AC＝AD＝2，∠BAD＝90°，∠BAC＝60°，则·等于(　　) A．－2　　B．2 C．－2 D．2 (2)在四面体OABC中，棱OA，OB，OC两两垂直，且OA＝1，OB＝2，OC＝3，G为△ABC的重心，求·(＋＋)的值． 归纳总结： 【练习1】在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AA1B1B的中心，F为A1D1的中点，求下列向量的数量积： (1)·；(2)·. 探究二 利用数量积证明空间垂直关系 【例2】已知空间四边形OABC中，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC，且OA＝OB＝OC，M，N分别是OA，BC的中点，G是MN的中点，求证：OG⊥BC. 归纳总结： 【练习2】如图，四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB＝60°，AB＝2AD，PD⊥底面ABCD.证明：PA⊥BD. 探究三 夹角问题 【例3】(1)已知a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则向量a与b之间的夹角〈a，b〉为(　　) A．30° B．45° C．60° D．以上都不对 (2)如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求异面直线OA与BC的夹角的余弦值． 归纳总结： 【练习3】如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，求与夹角的大小． 探究四 距离问题 【例4】如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝AC＝1，∠ACD＝90°，沿着它的对角线AC将△ACD折起，使AB与CD成60°角，求此时B，D间的距离． 归纳总结： 【练习4】如图所示，在平面角为120°的二面角α­AB­β中，AC⊂α，BD⊂β，且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B.已知AC＝AB＝BD＝6，求线段CD的长． 课后作业 A组 基础题 一、选择题 1．已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3，且(3a＋2b)⊥(λa－b)，则λ等于(　　) A．　　　　B．－　　　　C．±　　　　D．1 2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(　　) A．a2 B．a2 C．a2 D．a2 3．已知长方体ABCD­A1B1C1D1，则下列向量的数量积一定不为0的是(　　) A．· B．· C．· D．· 4．在棱长为a的正方体ABCD­A1B1C1D1中，向量与向量所成的角为(　　) A．60° B．150° C．90° D．120° 5.如图所示，在平行六面体