1.1.1 空间向量及其线性运算-2020-2021学年高一数学新教材同步课堂精讲练导学案（人教A版选修第一册）

1.1.1空间向量及其线性运算 导学案 编写：廖云波 初审：谭光垠 终审：谭光垠 廖云波 【学习目标】 1.理解空间向量的概念 2.掌握空间向量的线性运算 3.掌握共线向量定理、共面向量定理及推论的应用 【自主学习】 知识点一 空间向量 (1)定义：在空间，具有 和 的量叫做空间向量． (2)长度或模：空间向量的 ． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用 表示； ②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作： ，其模记为 或 . 知识点二 几类常见的空间向量 名称 方向 模 记法 零向量 . . . 单位向量 任意 . 相反向量 . 相等 a的相反向量： . 的相反向量： . 相等向量 相同 . a＝b 知识点三 空间向量的线性运算 (1)向量的加法、减法 空间向量的运算 加法 ＝ .＝a＋b 减法 ＝ .＝a－b 加法运算律 ①交换律：a＋b＝ . ②结合律：(a＋b)＋c＝ . (2)空间向量的数乘运算 ①定义：实数λ与空间向量a的乘积 .仍然是一个 .，称为向量的数乘运算． 当λ>0时，λa与向量a方向 .； 当λ<0时，λa与向量a方向 .； 当λ＝0时，λa＝ .；λa的长度是a的长度的 .倍． ②运算律 a．结合律：λ(μa)＝ .＝ .. b．分配律：(λ＋μ)a＝ .，λ(a＋b)＝ .. 知识点四 共线向量 (1)定义：表示若干空间向量的有向线段所在的直线 .，则这些向量叫做 .或平行向量． (2)方向向量：在直线l上取非零向量a，与向量a .的非零向量称为直线l的方向向量． 规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a. (3)共线向量定理：对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使 . (4)如图，O是直线l上一点，在直线l上取非零向量a，则对于直线l上任意一点P，由数乘向量定义及向量共线的充要条件可知，存在实数λ，使得＝λa. 知识点五 共面向量 (1)定义：平行于 .的向量叫做共面向量． (2)共面向量定理：若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 .. (3)空间一点P位于平面ABC内的充要条件：存在有序实数对(x，y), 使＝ .或对空间任意一点O，有＝ .. 【合作探究】 探究一 空间向量的有关概念 【例1】(1)给出下列命题： ①若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b； ②若向量a是向量b的相反向量，则|a|＝|b|； ③在正方体ABCD­A1B1C1D1中，＝； ④若空间向量m，n，p满足m＝n，n＝p，则m＝p. 其中正确命题的序号是________． (2)如图所示，在平行六面体ABCD­A′B′C′D′中，顶点连接的向量中，与向量相等的向量有________；与向量相反的向量有________．(要求写出所有适合条件的向量) 归纳总结： 【练习1】下列关于空间向量的命题中，正确命题的个数是(　　) ①长度相等、方向相同的两个向量是相等向量； ②平行且模相等的两个向量是相等向量； ③若a≠b，则|a|≠|b|； ④两个向量相等，则它们的起点与终点相同． A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 探究二 空间向量的线性运算 【例2】(1)如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，下列各式中运算结果为向量的有(　　) ①(＋)＋； ②(＋)＋； ③(＋)＋； ④(＋)＋. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 (2)已知正四棱锥P­ABCD，O是正方形ABCD的中心，Q是CD的中点，求下列各式中x，y，z的值． ①＝＋y＋z； ②＝x＋y＋. 归纳总结： 【练习2】已知空间四边形ABCD，连接AC，BD，设M，G分别是BC，CD的中点，则－＋等于(　　) A．　　B．3 C．3 D．2 探究三 共线问题 【例3】(1)设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝e1＋ke2，＝5e1＋4e2，＝－e1－2e2，且A，B，D三点共线，实数k＝________. (2)如图所示，已