考点19 二项式定理-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点19 二项式定理 一．二项式定理知识理解 （1）二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋ Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) （2）通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项 （3）二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C （4）项数为n＋1，且各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n 二．二项式系数的性质 3． 指定项的系数或二项式系数 1.解题思路：通项公式 2.常见指定项：若二项展开式的通项为Tr＋1＝g(r)·xh(r)(r＝0,1,2，…，n)，g(r)≠0，则有以下常见结论： (1)h(r)＝0⇔Tr＋1是常数项 (2)h(r)是非负整数⇔Tr＋1是整式项 (3)h(r)是负整数⇔Tr＋1是分式项 (4)h(r)是整数⇔Tr＋1是有理项 三．系数和---赋值法 1．赋值法的应用 (1)形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子，求其展开式的各项系数之和，只需令x＝1即可． (2)形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子，求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． 2．二项式系数最大项的确定方法 (1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大； (2)如果n是奇数，则中间两项的二项式系数相等并最大． 考向一 二项展开式中特定项及系数考向分析 【例1】（1）（2020·长春市第八中学高三）二项式的展开式中的系数为 （2）（2021·上海高三一模）在的二项展开式中，常数项等于____. （3）（2020·全国高三）在的展开式中，有理项共有 项 （4）（2020·云南省个旧市第一高级中学高三）展开式中x的系数为80，则a等于 。 【答案】（1）（2）240（3）5（4）-2 【解析】(1）由二项式定理可知，令，得， 所以的展开式中的系数为.故选：C （2）在的二项展开式中，通项公式为 ， 令，求得，可得展开式的常数项为 ，故答案为：240． （3）由题意可得二项展开式的通项 根据题意可得，为整数时，展开式的项为有理项，则r＝0，6，12，18，24，共有5项， （4）展开式的通项公式为 的系数为，解得. 【举一反三】 1．（2020·上海奉贤区·高三一模）在展开式中，常数项为__________.（用数值表示） 【答案】 【解析】展开式的通项为， 令，可得，所以常数项为，故答案为： 2．（2020·四川成都市·高三一模）的展开式中的系数是______．（用数字作答） 【答案】 【解析】由题设二项式知：， ∴项，即，∴系数为，故答案为：. 3．（2020·全国高三专题练习）的展开式中的系数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，根据二项式定理展开式的通项公式， 得展开式的通项为，则展开式的通项为， 由，得，所以所求的系数为.故选：C. 4．（2020·全国高三）二项式的展开式中的系数是，则（ ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【解析】展开式的通项为， 因为的系数是，所以，即，，解得，故选：B. 5．（2020·山东高三专题练习）的展开式中的系数是-10，则实数( ) A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】C 【解析】二项式展开式的通项为，令，得， 则，所以，解得.故选：C 6．（2020·广东高三一模）当为常数时，展开式中常数项为，则________． 【答案】 【解析】的第项为， 令，得，所以，解得．故答案为： 考向二 二项式系数的性质 【例2】（1）（2020·黑龙江大庆市·高三三模）若的展开式中只有第项的二项式系数最大，则展开式中含项的系数是（ ） A． B． C． D． （2）．（2020·江西高三其他）已知的展开式的第4项与第8项的二项式系数相等，则展开式中的系数为（ ） A．80 B．40 C． D． 【答案】（1）D（2）A 【解析】（1）∵的展开式中只有第项的二项式系数最大，∴为偶数，展开式共有项，则. 的展开式的通项公式为，令，得. ∴展开式中含项的系数是，故选D． （2）由题意，所以，解得， 则的展开式的通项为， 由得，所以的系数为.故选：A． 【举一反三】 1．（2020·四川绵阳市·高三三模）在二项式的展开式中，仅第四项的二项式系数最大，则展开式中常数项为（ ） A．﹣360 B．﹣160 C．160 D．360 【答案】B 【解析】∵展开式中，仅第四项的二项式系数最大， ∴展开式共有7项，则n＝6， 则展开式的通项公式为Tk+1＝Cx6﹣k（）k＝（﹣2）kCx6﹣2k， 由6﹣2k＝0得k＝3，即常数项为T4＝（﹣2）3C160，故选：B． 2．（2020·全国高三专题练习）在的展开式中，只有第5项的二项式