考点18 排列组合-2021年高考数学一轮复习（艺术生高考基础版）（新高考地区专用）

考点18 排列组合 知识理解 一．计数原理 （一）分类加法计数原理 1.概念：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． 2.特征 （1）每类方法都能独立完成这件事，它是独立的、一次的，且每次得到的是最后结果，只需一种方法就可完成这件事 （2）各类方法之间是互斥的、并列的、独立的 （二）分步乘法计数原理 1.概念：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法． 2.特征 (1)每一步得到的只是中间结果，任何一步都不能独立完成这件事，只有各个步骤都完成了才能完成这件事 (2)各步之间是相互依存的，并且既不能重复也不能遗漏 二．排列、组合 （一）排列组合定义 排列的定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列 组合的定义 合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合 （二）排列数、组合数的定义、公式、性质 排列数 组合数 定义 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同排列的个数 从n个不同元素中取出m(m≤n，m，n∈N*)个元素的所有不同组合的个数 公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝ 性质 A＝n！，0！＝1 C＝1，C＝C，C＋C＝C 考向一 排列组合数的计数考向分析 【例1】（1）（2020·全国高三专题练习）若，则的值为（ ） A．60 B．70 C．120 D．140 （2）（2020·全国高三专题练习）已知，则（ ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】（1）D（2）B 【解析】（1），解得或（舍去）， .故选：D. （2）∵，∴，整理，得，； 解得，或 (不合题意，舍去)；∴的值为12.故选：B. 【举一反三】 1．（2020·全国高三专题练习）已知，则（ ） A．5 B．7 C．10 D．14 【答案】B 【解析】，可得， 即，解得.故选：. 2．（2020·吉林油田第十一中学高三月考）若，则（ ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】D 【解析】因为，所以 所以即，即解得故选：D 3．（2020·全国高三专题练习）已知,则（） A． B． C．或3 D． 【答案】C 【解析】当时成立；当时也成立；故选C. 考向二 排队问题 【例2】（2020·全国高三专题练习）3名女生和5名男生排成一排． （1）若女生全排在一起，有多少种排法？ （2）若女生都不相邻，有多少种排法？ （3）其中甲必须排在乙左边（可不邻），有多少种排法？ （4）其中甲不站最左边，乙不站最右边，有多少种排法？ 【答案】（1）4320；（2）14400；（3）20160；（4）30960. 【解析】（1）（捆绑法）由于女生排在一起，可把她们看成一个整体， 这样同5名男生合在一起有6个元素，排成一排有种排法， 而其中每一种排法中，3名女生之间又有种排法， 因此，共有种不同排法； （2）（插空法）先排5名男生，有种排法， 这5名男生之间和两端有6个位置，从中选取3个位置排女生，有种排法， 因此共有种不同排法； （3）8名学生的所有排列共种，其中甲在乙左边与乙在甲左边的各占， 因此符合要求的排法种数为； （4）甲、乙为特殊元素，左、右两边为特殊位置， 法一（特殊元素法）：甲在最右边时，其他的可全排，有种不同排法， 甲不在最右边时，可从余下6个位置中任选一个，有种， 而乙可排在除去最右边位置后剩余的6个中的任一个上，有种， 其余人全排列，共有种不同排法， 由分类加法计数原理知，共有种不同排法； 法二（特殊位置法）：先排最左边，除去甲外，有种排法， 余下7个位置全排，有种排法， 但应剔除乙在最右边时的排法种， 因此共有种排法； 法三（间接法）：8名学生全排列，共种， 其中，不符合条件的有甲在最左边时，有种排法， 乙在最右边时，有种排法， 其中都包含了甲在最左边，同时乙在最右边的情形，有种排法， 因此共有种排法． 【方法总结】 排列问题常用方法 1. 直接法：把符合条件的排列数直接列式计算 2. 优先法：优先安排特殊元素或特殊位置 3.捆绑法：相邻问题采取“捆绑法”即把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列 4.插空法：不相邻问题采取“插空法”即对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空档中 5.定序除法：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列 6.间接法：正难则反、等价转化的方法 【举一反三】 1．（2021