第2部分 专题3 第3讲空间向量与立体几何-2021届高三高考数学二轮复习课件

第二部分 专题篇•素养提升(文理) 专题三　立体几何与空间向量(理科) 专题三　立体几何(文科) 第3讲　空间向量与立体几何(理科) 1 解题策略 · 明方向 2 考点分类 · 析重点 3 易错清零 · 免失误 4 真题回放 · 悟高考 5 预测演练 · 巧押题 以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上． (理科) 年份 卷别 题号 考查角度 分值 2020 Ⅰ卷 18(2) 求二面角的余弦值 6 Ⅱ卷 20(2) 求直线与平面所成角的正弦值 6 Ⅲ卷 19 求点到平面的距离、二面角的正弦值 12 年份 卷别 题号 考查角度 分值 2019 Ⅰ卷 18(2) 求二面角的正弦值 6 Ⅱ卷 17(2) 求二面角的正弦值 6 Ⅲ卷 19(2) 求二面角的大小 6 2018 Ⅰ卷 18(2) 求线面角的正弦值 6 Ⅱ卷 19(2) 二面角的余弦值的求解 6 Ⅲ卷 19(2) 二面角的正弦值的求解 6 02 考点分类 · 析重点 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)，平面α、β的法向量分别为μ＝(a2，b2，c2)，v＝(a3，b3，c3)． (1)线面平行 l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝0⇔a1a2＋b1b2＋c1c2＝0． 考点一　利用向量证明平行与垂直 (2)线面垂直 l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ(k≠0)⇔a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2(k≠0)． (3)面面平行 α∥β⇔μ∥v⇔μ＝λv(λ≠0)⇔a2＝λa3，b2＝λb3，c2＝λc3(λ≠0)． (4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝0⇔a2a3＋b2b3＋c2c3＝0． 如图，在底面是矩形的四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，点E，F分别是PC，PD的中点，PA＝AB＝1，BC＝2． (1)求证：EF∥平面PAB； (2)求证：平面PAD⊥平面PDC. 典例1 利用向量法证明平行与垂直的四个步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用已知的垂直关系． (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面． (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系． (4)根据运算结果解释相关问题． 1．如图，在直三棱柱ADE－BCF中，平面ABFE和平面ABCD都是正方形且互相垂直，点M为AB的中点，点O为DF的中点．运用向量方法证明： (1)OM∥平面BCF； (2)平面MDF⊥平面EFCD. 考点二　利用空间向量求空间角 典例2 A　 考向2　直线与平面所成的角 (2020·安阳二模)已知四棱锥S－ABCD中，四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝120°，△SBC为等边三角形，平面SBC⊥平面ABCD. (1)求证：BC⊥SD； (2)若点E是线段SA上靠近S的三等分点， 求直线DE与平面SAB所成角的正弦值． 典例3 【证明】　(1)取BC的中点F，连接BD、DF和SF， 因为△SBC为等边三角形，所以SF⊥BC； 又四边形ABCD是菱形，且∠ABC＝120°， 所以△BCD为等边三角形，所以DF⊥BC； 又SF∩DF＝F，SF⊂平面SDF，DF⊂平面SDF， 所以BC⊥平面SDF，又SD⊂平面SDF， 所以BC⊥SD. (2)解：因为平面SBC⊥平面ABCD，平面SBC∩平面ABCD＝BC， SF⊥BC，SF⊂平面SBC，所以SF⊥平面ABCD， 又DF⊥BC，所以SF、BC、DF两两垂直； 以点F为坐标原点，FC、FD、FS所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系F－xyz，如图所示： 因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， 所以PD⊥AC， 又BD∩PD＝D，所以AC⊥平面PBD， 又AC⊂平面PAC，所以平面PBD⊥平面PAC. 考向3　二面角 (2020·湖南省怀化市期末)如图四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB，E为PD中点． (1)求证：PB∥平面EAC； (2)求二面角A－BE－C的正弦值． 典例4 【解析】　(1)连接BD交AC于O，连接OE， ∵底面ABCD为正方形， ∴O是BD的中点， ∵E为PD中点，∴OE∥PB， 又EO⊂面EAC，PB⊄面EAC， ∴PB∥平面EAC. (1)运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤： ①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐标；③写出向量坐标；④结合公式进行论证、计算；⑤转化为几何结论． (2)求空间角注意：①两条异面直线所成的角α不一定是直线的方向向量的夹角β，即cosα＝|cosβ|；②两平面的