3.2.3 导数在不等式中的应用（课件PPT）-2021新高考数学【创新设计】一轮总复习（晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏）人教A版文

* @《创新设计》 核心素养提升 考点一　构造函数证明不等式 　多维探究 角度1　直接构造函数证明不等式 第三课时　导数在不等式中的应用 【例1－1】 (2020·南昌调研)已知函数f(x)＝1－eq \f(ln x,x)，g(x)＝eq \f(ae,ex)＋eq \f(1,x)－bx，若曲线y＝ f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直. * @《创新设计》 核心素养提升 因为曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)的一个公共点是A(1，1)，且在点A处的切线互相垂直， 所以g(1)＝1，且f′(1)·g′(1)＝－1. 从而g(1)＝a＋1－b＝1，且g′(1)＝－a－b－1＝1. 解得a＝b＝－1. (1)求a，b的值； (2)证明：当x≥1时，f(x)＋g(x)≥eq \f(2,x). (1)解　因为f(x)＝1－，所以f′(x)＝，f′(1)＝－1. 因为g(x)＝＋－bx，所以g′(x)＝－－－b. * @《创新设计》 核心素养提升 (2)证明　由(1)知，g(x)＝－eq \f(e,ex)＋eq \f(1,x)＋x，则f(x)＋g(x)≥eq \f(2,x)⇔1－eq \f(ln x,x)－eq \f(e,ex)－eq \f(1,x)＋x≥0. 令h(x)＝1－－－＋x(x≥1)， 则h(1)＝0，h′(x)＝－＋＋＋1＝＋＋1. 因为x≥1，所以h′(x)＝＋＋1>0， 所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，所以h(x)≥h(1)＝0，即1－－－＋x≥0. 故当x≥1时，f(x)＋g(x)≥. * @《创新设计》 核心素养提升 角度2　适当放缩构造函数证明不等式 【例1－2】 (2018·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)＝aex－ln x－1. 当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0. 所以f(x)在(0，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增. (1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间； (2)证明：当a≥eq \f(1,e)时，f(x)≥0. (1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－. 由题设知，f′(2)＝0，所以a＝. 从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－. * @《创新设计》 核心素养提升 当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0. 所以x＝1是g(x)的最小值点. 故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0. (2)证明　当a≥eq \f(1,e)时，f(x)≥eq \f(ex,e)－ln x－1(x>0). 设g(x)＝－ln x－1(x>0)，则g′(x)＝－(x>0). 因此，当a≥时，f(x)≥0. * @《创新设计》 核心素养提升 规律方法　构造法证明不等式是指在证明与函数有关的不等式时，根据所要证明的不等式，构造与之相关的函数，利用函数单调性、极值、最值加以证明.常用的两种构造方法有：(1)直接构造法：证明不等式f(x)>g(x)(f(x)<g(x))转化为证明f(x)－g(x)>0(f(x)－g(x)<0)，进而构造辅助函数h(x)＝f(x)－g(x)；(2)适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩，二是利用常见的放缩结论，如ln x≤x－1，ex≥x＋1； ln x<x<ex(x>0)，eq \f(x,x＋1)≤ln(x＋1)≤x(x>－1)等. * @《创新设计》 核心素养提升 【训练1】 (1)(角度1)已知函数f(x)＝ln x. ①解　因为g(x)＝f(x－1)－x＋2＝ln(x－1)－x＋2(x>1). 所以g(x)＝ln(x－1)－x＋2的最大值为g(2)＝0. ①求函数g(x)＝f(x－1)－x＋2的最大值； ②已知0<a<b，求证：f(b)－f(a)>eq \f(2a（b－a）,a2＋b2). 所以g′(x)＝eq \f(1,x－1)－1＝eq \f(2－x,x－1)，当x∈(1，2)时，g′(x)>0；当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0. 则g(x)在(1，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减. * @《创新设计》 核心素养提升 所以F(x)在(1，＋∞)上单调递增，有F(x)>F(1)＝0. ②证明　要证明f(b)－f(a)>eq \f(2a（b－a）,a2＋b2)，只需证ln b－ln a>eq \f(2a（b－a）,a2＋b2)＝eq \f(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)－1)),1＋\f(b2,a2)). 则ln >.又因为0<a<b，有>1，构造函数F(x)＝ln x－(x>1)， 则F′(x)＝eq \f(1,x)＋eq \f(2（x2－2x－1）,（1＋x2）2)＝eq