3 创新引领 微课 破解有关x与ex，ln x的组合函数的金钥匙（课件PPT）-2021新高考数学【创新设计】一轮总复习（晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏）人教A版文

* @《创新设计》 破解有关x与ex，ln x的组合函数的金钥匙 * @《创新设计》 微点聚焦突破 有关x与ex，ln x的组合函数是高考的常考内容，常将基本初等函数的概念、图象与性质糅合在一起，发挥导数的工具作用，应用导数研究函数性质、证明相关不等式(或比较大小)、求参数的取值范围(或最值)等.如2019年全国Ⅰ卷T13是以x与ex的组合函数为载体，考查切线方程的求解，2019年全国Ⅲ卷T6是以x与ex，ln x的组合函数为载体，考查导数的几何意义，2018年全国Ⅱ卷T3是以x与ex的组合函数为载体，考查函数的图象的识别，2019年天津卷T20以x与ln x，ex的组合函数为载体考查函数的零点与不等式证明. 预计今年高考对有关x与ex，ln x的组合函数的考查，除了延续往年的命题形式，还会更着眼于知识点的巧妙组合，突出对数学思维能力、数学核心素养的考查. * @《创新设计》 (1)若f(x)≥0，求a的取值范围； (2)若y＝f(x)的图象与直线y＝a相切，求a的值. 解　(1)由题易知，函数f(x)的定义域为(0，＋∞). 类型一　构造函数 【例1】 (2020·成都七中检测)已知函数f(x)＝ax－eq \f(ln x,x)，a∈R. 由f(x)≥0，得ax－≥0， 所以ax≥，又x>0，所以a≥. * @《创新设计》 令g(x)＝eq \f(ln x,x2)，则g′(x)＝eq \f(1－2ln x,x3). 令g′(x)>0，得0<x<，令g′(x)<0，得x>. 所以当0<x<时，g(x)单调递增， 当x>时，g(x)单调递减. 所以当x＝eq \r(e)时，g(x)取得最大值g(eq \r(e))＝eq \f(1,2e)， 所以a≥，即a的取值范围是. * @《创新设计》 易知h′(t)在(0，＋∞)上单调递减，且h′(1)＝0，所以当0<t<1时，h′(t)>0，h(t)单调递增， 当t>1时，h′(t)<0，h(t)单调递减.所以当且仅当t＝1时，h(t)＝0，即(*)式成立， (2)设y＝f(x)的图象与直线y＝a相切于点(t，a)，依题意可得 因为f′(x)＝a－，所以 消去a可得t－1－(2t－1)ln t＝0.(*) 令h(t)＝t－1－(2t－1)ln t，则h′(t)＝－2ln t－1， 所以a＝＝1. * @《创新设计》 思维升华　1.求解有关x与ex，x与ln x的组合函数问题，要把相关问题转化为熟悉易解的函数模型来处理；若函数最值不易求解时，可重新分拆、组合、构建新函数，然后借助导数研究函数的性质来求解. 2.本例中(1)先将不等式f(x)≥0转化为a≥eq \f(ln x,x2)，再构造函数g(x)＝eq \f(ln x,x2)，求其最大值即可求得a的取值范围；(2)先由y＝f(x)的图象与直线y＝a相切，得到方程组，再构造新函数，通过研究新函数的单调性，求出a的值. * @《创新设计》 【训练1】 (2020·合肥一中质检)已知函数y＝a＋8ln xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))))的图象上存在点P，函 数y＝－x2－2的图象上存在点Q，且P，Q关于x轴对称，则a的取值范围是(　　) A.[6－8ln 2，e2－6] B.[e2－6，＋∞) C. D. * @《创新设计》 解析　函数y＝－x2－2的图象与函数y＝x2＋2的图象关于x轴对称， 答案　D 根据已知得函数y＝a＋8ln xeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))))的图象与函数y＝x2＋2的图象有交点，即方程a＋8ln x＝x2＋2在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有解，即a＝x2＋2－8ln x在eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))上有解， 令g(x)＝x2＋2－8ln x，x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，e))，则g′(x)＝2x－eq \f(8,x)＝eq \f(2x2－8,x)，当x∈eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)，2))时，g′(x)<0；当x∈(2，e]时，g′(x)>0. 故当x＝2时，g(x)取最小值g(2)＝6－8ln 2，由于geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝10＋eq \f(1,e2)，g(e)＝e2－6. 故当x＝eq \f(1,e)时，g