3 创新引领 前瞻 函数与导数热点问题（课件PPT）-2021新高考数学【创新设计】一轮总复习（晋豫皖宁吉黑青甘新蒙贵川桂云藏）人教A版文

* @《创新设计》 热点聚焦突破 三年真题考情 函数与导数热点问题 * @《创新设计》 热点聚焦突破 三年真题考情 三年真题考情 核心热点 真题印证 核心素养 利用导数研究函数的性质 2019·Ⅲ，20；2018·Ⅱ，21；2018·Ⅰ，21；2017·Ⅱ，21 数学运算、逻辑推理 利用导数研究函数的零点 2019·Ⅱ，20；2019·江苏，19；2018·Ⅱ，21(2) 数学运算、直观想象 导数在不等式中的应用 2019·Ⅰ，20；2018·Ⅰ，21；2017·Ⅲ，21；2017·Ⅱ，21 数学运算、逻辑推理 * @《创新设计》 热点聚焦突破 三年真题考情 热点聚焦突破 教材链接高考——导数在不等式中的应用 [教材探究](选修1－1P99习题3.3B组(3)(4)) 利用函数的单调性证明下列不等式，并通过函数图象直观验证. (3)ex>1＋x(x≠0)； (4)ln x<x<ex(x>0). * @《创新设计》 热点聚焦突破 三年真题考情 [试题评析]　1.问题源于求曲线y＝ex在(0，1)处的切线及曲线y＝ln x在(1，0)处的切线，通过观察函数图象间的位置关系可得到以上结论，可构造函数f(x)＝ex－x－1与g(x)＝x－ln x－1对以上结论进行证明. 2.两题从本质上看是一致的，第(4)题可以看作第(3)题的推论.在第(3)题中，用“ln x”替换“x”，立刻得到x>1＋ln x(x>0且x≠1)，进而得到一组重要的不等式链：ex>x＋1>x－1>ln x(x>0且x≠1). 3.利用函数的图象(如图)，不难验证上述不等式链成立. * @《创新设计》 热点聚焦突破 三年真题考情 【教材拓展】 (一题多解)试证明：ex－ln x>2. 证明　法一　设f(x)＝ex－ln x(x>0)， 则f′(x)＝ex－eq \f(1,x)，令φ(x)＝ex－eq \f(1,x)， 则φ′(x)＝ex＋eq \f(1,x2)>0在(0，＋∞)恒成立，所以φ(x)在(0，＋∞)单调递增， 即f′(x)＝ex－eq \f(1,x)在(0，＋∞)上是增函数， 又f′(1)＝e－1>0，f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq \r(e)－2<0，∴f′(x)＝ex－eq \f(1,x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))内有唯一的零点. 不妨设f′(x0)＝0，则ex0＝eq \f(1,x0)，从而x0＝ln eq \f(1,x0)＝－ln x0， * @《创新设计》 热点聚焦突破 三年真题考情 故ex－ln x>2. 法二　注意到ex≥1＋x(当且仅当x＝0时取等号)， x－1≥ln x(当且仅当x＝1时取等号)， ∴ex＋x－1>1＋x＋ln x，故ex－ln x>2. 所以当x>x0时，f′(x)>0；当0<x<x0时，f′(x)<0. ∴f(x)＝ex－ln x在x＝x0处有极小值，也是最小值. ∴f(x)min＝f(x0)＝ex0－ln x0＝eq \f(1,x0)＋x0>2，x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)). * @《创新设计》 热点聚焦突破 三年真题考情 探究提高　1.法一中关键有三点：(1)利用零点存在定理，判定极小值点x0∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))；(2)确定ex0＝eq \f(1,x0)，x0＝－ln x0的关系；(3)基本不等式的利用. 2.法二联想经典教材习题结论，降低思维难度，优化思维过程，简洁方便. * @《创新设计》 热点聚焦突破 三年真题考情 【链接高考】 (2017·全国Ⅲ卷)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a<0时，证明f(x)≤－eq \f(3,4a)－2. (1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝eq \f(1,x)＋2ax＋2a＋1＝eq \f(（2ax＋1）（x＋1）,x). 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，故f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 若a<0，则当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))时，f′(x)>0；当x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2a)，＋∞))时，f′(x)<0. 故f(x)在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(1,2a)))上单调递增，在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1