湘教版八年级上册 将军饮马问题 教学课件

“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐朝诗人李颀《古从军行》里的一句诗。桃源县文昌中学 万美珍 “白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河” 选自唐朝诗人李颀《古从军行》 . 将军饮马问题 如图： 将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马 要到小溪边饮水一次.问将军怎样走路程最短？ 问题情境 A B A B 抽象： P 问题:如图,另一位将军也骑马从城堡A到城堡B，途中马 也要到小溪边饮水一次.问这位将军怎样走路程最短？ 使得PA+PB最小？ 问题抽象 M N 问题探究 如图，在直线MN上找一点P, 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处， 如何挖掘能使渠道最短？ m 垂线段最短 思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此 相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题？ 请举例说明. 问题分析 如图所示，直线MN表示一条铁路，铁路两旁各有一点A和B，表示两个工厂．要在铁路上建一货站，使它到两厂距离之和最短，这个货站应建在何处？ P P´ ´ ´ 方法:在解决选择位置、求最短距离等问题时，通常 转化为“两点之间线段最短” 问题分析 思考:在前面研究几何问题的过程中，你是否遇到过与此 相类似求线段的距离最短或者线段和最小的问题的 问题？请举例说明. 抽象：如图，在直线MN上找一点P, B 问题:如图,另一位将军也骑马从城堡A到城堡B，途中马 也要到小溪边饮水一次.问这位将军怎样走路程最短？ 使得PA+PB最小？ A P M N 问题分析 P A B A´ P 作法： （1）作点A关于直线 MN 的对称点 A´ （2）连结A´B，交MN于点 P； ∴ 点P就是所求的点． M N 问题分析 如图，在直线上找一点P使得PA+PB最小？ N B A P A´ P´ M 问题分析 作点A关于直线的对称点A´, 连接BA´， 则PA´=PA， 交MN于点P, 连接AP, 在直线MN上任意取一点P´ 连接AP´,BP´,A´P´, 则AP´=A´P´， 则PA+ PB= 则AP´+BP´= PA ´+ PB= A´B A´P´+ BP´ △BA´P´中，A ´B < BP´+A´P´， ∴ AP+BP < AP´+BP´， 即AP+BP最小． 如图，点A,B在直线MN的同侧，在直线MN上找一点P, 使得PA+PB最小. 建立模型 模型特征： 解决方法： 一线两定一动 依据两点之间，线段最短,通过一次轴对称, 将两条折线段化为一条直线段. 已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上 确定一点R，使△PQR的周长最短吗？ R P’ 试一试 R . . . . 已知:如图射线OM和射线ON内一点A 求作:OM上一点B,ON上一点C, 使AB+BC+AC最小 作法:（1）作点A关于OM、ON的 对称点A´、A´´ B . A M 0 N A´´ A´´ C （2）连接A´和A´´,交OM于B, 交ON于C.则点B,C为所求. 变一变 如图:点P在一个角的内部，在角的两边上分别找 一点M、N, 使得PM+PN+MN最小. 问题特征： 解决方法： 两线一定两动 依据两点之间，线段最短,通过两次轴对称, 将三条折线段化为一条直线段. 说一说 已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？ 练一练 （2）把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧， 化折线为直线 将军饮马的实质： （3）可利用“两点之间线段最短”加以解决 （1）求最短路线问题------ 通过几何变换找对称图形 课堂小结 问题拓展 已知：在一个角的内部有两点Q、P 求作：点M和点N,使得点M在 上，点N在 上 ， 使QM+MN+PN+PQ最短。 Q . . P Q . Q´ . P´ . . M N 问题特征： 解决方法： 两线两定两动 依据两点之间，线段最短,通过两次轴对称, 将三条折线段化为一条直线段. 问题拓展 已知： MON内两点A、B 求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上， 使AC+CD+BD+AB最短。 (2019中考) 如图，∠AOB=30°,角内有一点P，PO=10cm， 两边上各有一点Q、R（均不同于点O），则 △PQR的周长的最小值是＿＿ 联系中考 $$