专题2.3 一元二次方程及其应用（课件）-2021年中考数学一轮复习课件与练习（安徽专用）

2.3 一元二次方程及其应用 考点整理 考点1 一元二次方程及其解法 1.定义 只含一个未知数,并且未知数的最高次数是①　　　的② 　 ,叫做一元二次方程. 2.一元二次方程的一般形式(又叫做标准形式) 2 整式方程 解法 适用情况 方程的根 直接开平方法 x2=m(m≥0) (x+n)2=p(p≥0) 配方法 ax2+bx+c=0(a≠0, Δ≥0)→(x+n)2=p(p≥0) 公式法 ax2+bx+c=0 (a≠0,b2-4ac④ 　0) x=⑤ 因式分解法 ax2+bx+c=a(x-m)(x-n)=0(a≠0) x1=m,x2=n 一元二次方程及其解法 3.一元二次方程的解法 ≥ 考点1 4 考点1 一元二次方程及其解法 3.一元二次方程的解法 解法 适用情况 步骤 直接开平方法 形如ax2=m,a(x+n)2=m的方程.(a≠0,且am≥0) 先将方程化为x2=p或(x+n)2=p的形式,再利用平方根的定义求解. 配方法 适用于所有一元二次方程.若方程的二次项系数是1、一次项系数是偶数,则利用配方法较简便. (1)变形:将二次项系数化为1;(2)移项:将常数项移到方程的右边;(3)配方:方程两边同时加上一次项系数一半的平方;(4)求解:利用直接开平方法求解. 公式法 适用于所有一元二次方程.求根公式是③　 　 　　. (1)变形:将一元二次方程化为一般形式,确定a,b,c的值.(2)求出b2-4ac的值.(3)求根:若b2-4ac④　　　　0,则方程无实数根;若b2-4ac⑤　　　　0,则利用求根公式求出方程的根. 因式分解法 当方程一边化为0后,另一边易分解成两个一次式的乘积. (1)将方程一边化为0,另一边分解为两个一次式的乘积;(2)令每个一次式为0,得到两个一元一次方程;(3)解这两个一元一次方程,它们的解就是一元二次方程的解. < ≥ 一元二次方程及其解法 解方程4x2+4x+1=9. 解:原方程可化为(2x+1)2=9, 两边开平方,得2x+1=±3, ∴x1=1,x2=-2. 注:本题在开平方时,易将算术平方根误当作平方根,导致丢根. 用直接开平方法解一元二次方程的丢根情况 考点1 一元二次方程及其解法 6 一元二次方程及其解法 解方程3x(x+2)=6(x+2). 解:原方程可化为3x(x+2)-6(x+2)=0, 提取公因式,得(x+2)(3x-6)=0, ∴3x-6=0或x+2=0, ∴x1=2,x2=-2. 注:本题易出现错用等式的性质的情况,约去了可能为0的因式(x+2),从而导致方程少了一个根. 用因式分解法解一元二次方程的丢根情况 考点1 一元二次方程及其解法 7 对于一元二次方程的四种解法,要结合方程中的具体数据进行选择,一般地,直接开平方法、因式分解法只能在特殊方程中使用,配方法、公式法通用. 考点1 一元二次方程及其解法 考点2 一元二次方程根的判别式 一元二次方程的根的判别式为Δ=b2-4ac. b2-4ac>0⇔方程⑥　　　　　　 　实数根. b2-4ac=0⇔方程⑦　　　 　 实数根. b2-4ac<0⇔方程⑧　　　　实数根. 有两个不相等的 有两个相等的 没有 一元二次方程根的判别式 考点2 已知关于x的一元二次方程 ax2-3x+1=0 有两个实数根,求a的取值范围. 解:因该一元二次方程有两个实数根, 所以Δ=(-3)2-4a≥0,且a≠0, 解得a≤ ,且a≠0. 注:本题易忽视一元二次方程中二次项系数不能为0这一条件. 因忽视一元二次方程中二次项系数不为0的 隐含条件而出错 考点2 一元二次方程根的判别式 考点3 一元二次方程的实际应用 变化率问题 (1)增长率= ×100%; (2)降低率= ×100%; (3)设a为原来的量,m为平均增长率,n为增长次数,b为增长后的量,则a(1+m)n=b;当m为平均下降率,b为下降后的量时,a(1-m)n=b. 利率问题 本息和=本金+利息利息=本金×利率×期数 销售利润问题 毛利润=销售总额-进货总额纯利润=销售总额-进货总额-其他费用利润率=利润÷成本×100%销售总额=售价×销量进货总额=进价×进货数量 单循环问题 设共有n个队,每个队与其余队各比赛一场,则总的比赛场次为 . 命题研究 命题角度1 解一元二次方程 1.[2020江苏扬州中考改编]解方程:(x+1)2=9. 1.(x+1)2=9, ∴x+1=±3, ∴x1=2,x2=-4. 2.[2020江苏南京]解方程x2-2x-3=0. 2