3.2.2 利用导数研究函数的极值、最值（课件PPT）-2021新高考数学【创新设计】一轮总复习（鲁京辽）人教B版

* @《创新设计》 考点聚焦突破 第二课时　利用导数研究函数的极值、最值 角度1　根据函数图象判断极值 【例1－1】 设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D.函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2) 考点一　利用导数求函数的极值 多维探究 * @《创新设计》 考点聚焦突破 解析　由题图可知，当x<－2时，f′(x)>0； 当－2<x<1时，f′(x)<0；当1<x<2时，f′(x)<0； 当x>2时，f′(x)>0. 由此可以得到函数f(x)在x＝－2处取得极大值， 在x＝2处取得极小值. 答案　D * @《创新设计》 考点聚焦突破 规律方法　由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性.两者结合可得极值点. * @《创新设计》 考点聚焦突破 角度2　已知函数求极值 【例1－2】 已知函数f(x)＝ln x－ax(a∈R). 令f′(x)＝0，得x＝2， 于是当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表. (1)当a＝时，求f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数. 解　(1)当a＝时，f(x)＝ln x－x，函数的定义域为(0，＋∞)且f′(x)＝－＝， * @《创新设计》 考点聚焦突破 当a≤0时，f′(x)>0在(0，＋∞)上恒成立， 则函数在(0，＋∞)上单调递增，此时函数在定义域上无极值点； 故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值＝f(2)＝ln 2－1，无极小值. (2)由(1)知，函数的定义域为(0，＋∞)， x (0，2) 2 (2，＋∞) f′(x) ＋ 0 － f(x)  ln 2－1  f′(x)＝－a＝. * @《创新设计》 考点聚焦突破 综上可知，当a≤0时，函数f(x)无极值点， 当a>0时，函数y＝f(x)有一个极大值点，且为x＝. 当a>0时，若x∈，则f′(x)>0， 若x∈，则f′(x)<0， 故函数在x＝处有极大值. * @《创新设计》 考点聚焦突破 规律方法　运用导数求导函数f(x)极值的一般步骤： (1)确定函数的定义域；(2)求导数f′(x)；(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号；(5)求出极值. * @《创新设计》 考点聚焦突破 【训练1】 (1)(角度1)已知函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)上的图象如图所示，则函数f(x)在(a，b)上的极大值点的个数为(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 解析　由函数极值的定义和导函数的图象可知，f′(x)在(a，b)上与x轴的交点个数为4，但是在原点附近的导数值恒大于零，故x＝0不是函数f(x)的极值点.其余的3个交点都是极值点，其中有2个点满足其附近的导数值左正右负，故极大值点有2个. 答案　B * @《创新设计》 考点聚焦突破 (2)(角度2)(2019·江苏卷节选)设函数f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)，a，b，c∈R，f′(x)为f(x)的导函数. (ⅰ)若a＝b＝c，f(4)＝8，求a的值； (ⅱ)若a≠b，b＝c，且f(x)和f′(x)的零点均在集合{－3，1，3}中，求f(x)的极小值. 解　(ⅰ)因为a＝b＝c， 所以f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)＝(x－a)3. 因为f(4)＝8，所以(4－a)3＝8，解得a＝2. (ⅱ)因为b＝c，所以f(x)＝(x－a)(x－b)2＝x3－(a＋2b)x2＋b(2a＋b)x－ab2，从而f′(x)＝3(x－b)·. * @《创新设计》 考点聚焦突破 此时，f(x)＝(x－3)(x＋3)2，f′(x)＝3(x＋3)(x－1). 令f′(x)＝0，得x＝－3或x＝1. 当x变化时，f′(x)变化如下表： 令f(x)＝0，得x＝a或x＝b. 因为a，b，都在集合{－3，1，3}中，且a≠b， 令f′(x)＝0，得x＝b或x＝. 所以＝1，a＝3，b＝－3. * @《创新设计》 考点聚焦突破 所以f(x)的极小值为f(1)＝(1－3)(1＋3)2＝－32. x (－∞，－3) －3 (－3，1) 1 (1，＋∞) f′(x) ＋ 0 － 0 ＋ f(x)  极大值 