第6讲 直线、平面垂直的判定及其性质-2020-2021学年高一数学下学期高频考点专题突破（人教A版2019必修第二册）

立体几何之垂直问题 模块一：垂直的判定与性质 线面垂直与面面垂直 线面垂直：如果一条直线和一个平面相交于点，并且和这个平面内过点的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直． 点面距离：如果一条直线和平面垂直，则线与面的交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． 判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 　　推 论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 　　性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． 面面垂直：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平 面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直． 　　 判定判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 线面垂直 面面垂直 定义 定理 定理 定义 考点1：线面垂直的判定、性质及证明 例1.（1）已知，，为平面，，，为直线，则下列哪个条件能推出　　 A．，， B．，， C．，， D．，， （2）已知，表示两条不同直线，表示平面，下列说法中正确的是　　 A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例2.（1）如图，在以下四个正方体中，直线与平面垂直的是　　 A．①② B．②④ C．①③ D．②③ （2）如图，在直三棱柱中，，若，则　　 A． B． C． D． （3）如图，是的直径，是圆周上不同于，的任意一点，平面，则四面体的四个面中，直角三角形的个数有　　 A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 例3.如图，在以，，，，，为顶点的多面体中，平面，，，，，． （Ⅰ）请在图中作出平面，使得平面，并说明理由； （Ⅱ）证明：平面． 考点2：面面垂直的判定、性质及证明 例4.（1）如图，在四面体中，，截面是矩形，则下列结论不一定正确的是　　 A．平面平面 B．平面 C．平面平面 D．平面 （2）四面体中，，底面为等腰直角三角形，，为中点，请从以下平面中选出两个相互垂直的平面　　．（只填序号） ①平面②平面③平面④平面⑤平面 例5.如图，在直三棱柱中，，分别为，的中点，点在侧棱上，且，．求证： （1）直线平面； （2）平面平面． 例6.如图所示，在四棱锥中，，，，平面底面，和分别是和的中点．求证： （1）平面； （2）平面平面． 例7.如图，矩形中，，以为折痕把折起，使点到达点的位置． （1）若，求三棱锥体积的最大值； （2）若，证明：平面平面； 例8.如图，在三棱锥中，点、分别为、的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面平面． 课后作业： 1．三棱锥中，侧面底面，，，．则 A． B． C． D． 2．已知，是空间两个不同的平面，，是空间两条不同的直线，则给出的下列说法中正确的是 ①，，且，则； ②，，且，则； ③，，且，则； ④，、且，则． A．①②③ B．①③④ C．②④ D．③④ 3．在正方体中，，分别是，的中点，在上，若平面平面，则 ． 4．已知平面，和直线，给出条件：①；②：③；④；⑤．当满足条件 时，． 5．如图，在四棱锥中，面，底面为菱形，且，为的中点，为上一点． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）求证：平面平面． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $$ 目录 立体几何之垂直问题 2 模块一：垂直的判定与性质 2 考点1：线面垂直的判定、性质及证明 2 考点2：面面垂直的判定、性质及证明 7 课后作业： 12 立体几何之垂直问题 模块一：垂直的判定与性质 线面垂直与面面垂直 线面垂直：如果一条直线和一个平面相交于点，并且和这个平面内过点的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直． 点面距离：如果一条直线和平面垂直，则线与面的交点叫做垂足，垂线上任意一点到垂足间的线段，叫做这个点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这个点到平面的距离． 判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直． 　　推 论：如果两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面． 　　性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行． 面面垂直：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平 面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直． 　　 判定判定定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直． 性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它